洪一平——双抛物线与四直线纠缠在一起的试题与解答
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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双抛物线与四直线纠缠在一起的
试题与解答
浙江省平阳中学 洪一平
问题: 直线l: y=x+m与抛物线C1: x2=4y相交于点A, B, 抛物线C1在点A, B处的切线l1, l2的交点为M, 点M在抛物线C2: y2=2px(p>0)上, 直线l1, l2与抛物线C2的另一交点分别为C, D.设点P为CD与抛物线C1的公共点, 若点P到直线AB的距离为3√2/2, 求m的值.
解析:设A(x1, y1), B(x2, y2), M(x0, y0),
则切线l1: 2(y+y1)=x1x, 切线l2: 2(y+y2)=x2x,
点M满足两切线方程,
知2(y0+y1)=x1x0, 2(y0+y2)=x2x0,
从而切点弦AB方程为2(y+y0)=x0x,
这与直线l为同一个方程, 故x0=2, y0=-m,
由M(2, -m)在抛物线C2上,
得m2=4p, 即C2: 2y2=m2x.
【作者简介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大学应用数学系并于83年毕业, 获理学士学位, 毕业后分配到杭州商学院担任高数助教二年, 85年考上浙江大学应用数学系攻读计算机辅助几何设计专业硕士研究生学位, 89年获得理学硕士学位, 毕业后回家乡任教于浙江省平阳中学, 96年评上高中数学高级教师职称, 曾连续二十多年担任高中数学竞赛及培优辅导员。
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