杨俊——曲线的切线和曲线的交点问题的探究

原创杨俊邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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曲线的切线和曲线的交点问题的探究

广东深圳杨俊

本题源自刚刚结束的武汉三调,题目的内涵很丰富,是一道值得花时间来研究的好题目。

先解决第一个问题。有人会问：函数在某处的切线和曲线不是本来就只有一个交点吗？

回答：没错，函数在某处的切线和曲线在切点处肯定有一个交点，但在曲线的其他位置，可以有另外的交点，比如：f(x)=x³-3x在P(1,-2)处的切线为y=-2但这条切线和该函数在其他地方还有一个交点A(-2,-2)

接下来,我们代入答案C来验证一下是否满足题意。

重复使用该方法可以检验出答案B,C,D是对的,但这样做需要花费一定的时间,同时对计算的速度和准确度有很高的要求,应该来说,在考场上能够把这道题彻底算对的学生,那是非常优秀的。

那么，有没有统一的方法来解决这个问题呢？有的，易得：

普通的学生掌握到这里就足够了,不要再扩展了。

有高数基础的学生留下,接下来,我们进入这个题目深层次的研究。

反应快的学生立刻会发现,当x₀=ln2和x₀>ln4处的切线都和该曲线只有一个交点,但情况是完全不同的。x₀=ln2出的切线从图像上观察可知,这条切线穿过了该曲线,但和该曲线确实只有一个交点,为什么会发生这种情况呢？

因为x₀=ln2这个位置是该函数图像的拐点,在这里,函数完成凹凸性的改变。

以函数y=x³为例，在O(0,0)处的切线方程为y=0,从图像上可以很容易看出来,这条切线穿过了该三次函数同时和该函数只有一个交点,就是因为原点是该函数的拐点,在原点的左边,该函数是上凸的,而在原点右边,该函数是下凸的,所以在拐点处的切线就具备这种看似反常理的性质,因为我们一般见到的函数的曲线在某处的切线,都是曲线在切线同侧的情况,所以在判断切线的时候要特别注意到这个特例,不能想当然的认为曲线一定在切线的一侧,也有可能在切线的两侧。