邹生书——武汉三月调考数学第7题的五种解法
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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武汉三月调考数学第7题的五种解法
湖北省阳新县高级中学 邹生书
7.过抛物线E:y2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点，过两点分别向的准线作垂线，垂足分别为C,D，若△ACF与△BDF的面积之比为4,则直线AB的斜率为（ ）
思路一、解析几何方向
解法1：设点法求解（点差法求直线斜率，用点的坐标表示直线方程）
由对称性知,正确的选项是D.
解法2：用设线法求解
思路二、三角几何方向
解法3：用几何与三角联手求解
如图2，过点F作x轴的垂线分别交AC,BD于点M,N，
由AF=AC,BF=BD知
∠AFC=∠ACF=(π-∠FAC)/2,
∠BFD=∠BDF=(π-∠FBD)/2,
所以∠AFC+∠BFD =π-(∠FAC+∠FBD)/2
=π-π/2=π/2，
所以∠CFD=π/2，
又FH⊥CD,由射影定理得FD2=DH•DC,
设FB=r,则FA=2r,在△BFD中由余弦定理得
FD2=r2+r2-2r2cos(π-θ)=2r2+2r2cosθ,
又DH=NF=rsinθ, DC=NM=3rsinθ,
代入FD2=DH•DC得
2r2+2r2cosθ=3r2sin2θ,
整理得3cos2θ+2cosθ-1=0,解得cosθ=1/3,
所以直线AB的斜率k=tanθ=2√2,
由对称性知，正确的选项是D.
解法4：用三角法+抛物线定义求解
如图2，过点F作x轴的垂线分别交AC,BD于点M,N，
设FB=r,则FA=2r,设直线AB的倾斜角为θ，
则AC=CM+MA=p+2rcosθ，
BD=DN-BN= p-rcosθ,
由抛物线定义得AF=AC,BF=BD,于是有
p+2rcosθ=2r, p-rcosθ=r,
两式相减可得cosθ=1/3,
所以直线AB的斜率k=tanθ=2√2,
由对称性知，正确的选项是D.
解法5：用三角法+抛物线定义求解
如图3，过点A作DB的垂线交DB的延长线于点G，
由抛物线定义得AF=AC,BF=BD,
设FB=r,则FA=2r,设直线AB的倾斜角为θ，
则AB=AF+FB=3r,BG=DG-BD=AC-BD=2r-r=r,
于是有cosθ=cos∠ABG=BG/AB=r/3r=1/3,
所以直线AB的斜率k=tanθ=2√2,
由对称性知，正确的选项是D.
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