洪一平等——2021汕头市高三质量检测压轴题解法大比拼
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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2021汕头市高三质量检测压轴题
解法大比拼
福建 刘锋艺
河北邢台 霍忠林
浙江省平阳中学 洪一平
湖北省阳新县高级中学 邹生书
22.已知f(x)=aex-ln(x+1)-1.
(1)当a=1时, 求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥ln(1/a)恒成立, 求a的取值范围.
解：（2）法1：用指对不等式e2≥x+1和x-1≥lnx放缩求解
评注：上面用指对不等式放缩求出的参数a≥1只是不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立的充分条件，并非充要条件。
下面证明a≥1又是这个不等式恒成立的必要条件，则只要证明：
法2：同构等价转化求解 福建刘锋艺 提供
法3：同构法 浙江省平阳中学 洪一平 提供
由题设得aex +lna≥ln(x+1)+1, 即
ex+lna +x+lna≥ln(x+1)+x+1=eln(x+1)+ln(x+1)恒成立,
设g(x)=ex+x, 易知g(x)是R上的增函数,
且g(x+lna)≥g[ln(x+1)],得x+lna≥ln(x+1)恒成立,
即lna≥ln(x+1)-x恒成立, 易得[ln(x+1)-x]max=0,
故lna≥0, 即a≥1.
解法4：反函数法 洪一平 提供
解法5：变更主元法 洪一平 提供
设g(a)=f(x)+lna=aex+ lna-ln(x+1)-1,
a>0, x>-1,则"x>-1, g(a)是(0, +∞)上的增函数,
且g(a)≥0恒成立,由(1)知g(1)=ex-ln(x+1)-1≥0,
故当a≥1时, g(a)≥g(1)≥0;
当0<a<1时, 令x=0, 则g(a)=a+lna-1<1+ln1-1=0,
即f(0)<ln(1/a).
综上, a≥1.
解法6：先必要后充分 河北邢台 霍忠林 提供
若f(x)≥ln(1/a)在x>-1时恒成立,
则f(0)=a-1≥ln(1/a),
得a+lna-1≥0,而g(a)=a+lna-1是增函数，
且g(1)=0,所以a≥1.
即a≥1是不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立的必要条件。
下面证明a≥1是不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立的充分条件。
当a≥1时，f(x)=aex-ln(x+1)-1≥ex-ln(x+1)-1，
由（1）知ex-ln(x+1)-1≥0，所以左边f(x)≥0，
而a≥1时，右边ln(1/a)≤0，故不等式f(x)≥ln(1/a)恒成立。
综上，a的取值范围是[1,+∝）。
下附原卷参考答案解法如下：
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