邹生书——湖北十一校联考抛物大题的解法与极点极线背景
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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湖北十一校联考抛物线大题的解法
与极点极线背景
湖北省阳新县高级中学 邹生书
21.已知动点P在x轴上及其上方，且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.
（1）求求点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是直线y=x-4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两条切线QA,QB，其中A,B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标。
解析：（1）法1（参考答案解法）
法2：设点P(x,y)依题意点P到点F(0,1)的距离与它比到直线y=-1轴的距离相等，所以点P的轨迹是以点F为焦点以直线y=-1为准线的一条抛物线，其方程为x2=4y.
（2）法1（参考答案解法）
点评：比较解法2和解法3知，解法2显得曲折迂回，似乎走了弯路。
法4：由圆锥曲线极点极线的知识知，若直线AB过定点M(x0,y0)，则抛物线在点A,B处的两条切线的交点Q必在点M所对应的极线x0x=2(y+y0)上，依题意点Q在直线y=x-4上，所以直线y=x-4就是点M所对应的极线，由y=x-4得2x=2(y+4),比较得x0=2,y0=4所以直线AB过定点(2,4).
另解：也可由x0x=2(y+y0)得y=0.5x0x-y0，与y=x-4比较得x0=2,y0=4，所以直线AB过定点(2,4).
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