邓启龙 ——2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题的探究与推广
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题
的探究与推广
广东省中山纪念中学
邓启龙 (邮编：528454）
文章发表于《中学数学教学》2020年第1期
2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题出人意料 地考查纯粹的基本不等式，要求学生能灵活使用 二元以及 三 元 均 值 不 等 式.本文经过深入探究， 首先给出第23题的 多 种 证 明 方 法，然 后 将 该 题 的结论推广到一般形式.
证法一根据所证不等式右边的指数为2次， 巧用二元均值不等式，思路灵巧，方法简洁.证法 二采用作差 法，对 作 差 后 的 结 果 巧 妙 配 方，对 代 数变形能力要求较高.
第（2）问中的不等式左边形式复杂，指数为3 次，证明难 度 增 大.由于不等式左边的指数为 3 次，自然想 到 利 用 三 元 均 值 不 等 式 来 证 明.首 先 给出利用三元均值不等式证明第（2）问的四种方 法.
证法一和证法二类似，都是利用二元和三元 均值不等式，只 是 使 用 的 顺 序 不 同.证 法 三 把 三 个立方拆开，重新组合后分别利用三元均值不等 式.证法四 根 据 取 等 条 件，通 过 配 凑 后 利 用 三 元 均值不等式降低指数的次数，思路巧妙.
由于第 （2）问中的不等式左边的指数为 3 次，明显利 用 三 元 均 值 不 等 式 来 证 明 更 简 单.但 很多学生对三元以及多元均值不等式较陌生，遇 到三次以及更高次不等式感觉无从下手.其实第 （2）问可以只用二元均值不等式来证明，只 是 过程较繁琐.下面给出利用二元均值不等式证明第 （2）问的两种方法.
人教版高中数学选修4-5详细介绍了柯西 不等式，柯 西 不 等 式 是 一 个 重 要 的 不 等 式，历 史 悠久、形式优美、结构巧妙，是不等式证明的强有 力的工具.下面给出利用柯西不等式证明第（2） 问的方法.
除了均值不等式和柯西不等式，数学竞赛中还有一些常 用 的 不 等 式，比 如 幂 平 均 不 等 式，切 比雪夫不等式和权方和不等式（这些不等式在高 考中不能 直 接 用）.下面给出利用这些竞赛不等 式证明第（2）问的方法. 证法八 由幂平均不等式得
本文经过 深 入 探 究，首 先 给 出 2019 年全 国 卷Ⅰ理科数 学 第23题的 多 种 证 明 方 法，然 后 将 该题的结论从指数方面和变元个数方面推广到 一般形式.
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