洪一平——参数变量常分离灵活放缩总相宜

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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参数变量常分离灵活放缩总相宜

浙江省平阳中学洪一平

最近看到了“应用导数解决一类隐零点恒成立问题”一文, 几个例子用比较程式化的隐零点的方式进行了适当的处理, 方法是可行的, 但是过程一般比较长, 相对比较而言, 如采用不等式的放缩来灵活处理的话,过程可大大压缩. 下面就把该文的5个例子全部采用参变分离及不等式放缩的方式重新做一遍, 供大家参考.

问题1: 已知函数f(x)=ax·e^x(a∈R), 若当x>0时, 不等式f(x)≥x+lnx+1恒成立,求a的取值范围.

(注: 从e^x≥x+1, 到x·e^x=e^x^+lnx≥x+lnx+1是常见的放缩方式, 也要注意取等条件,应熟悉并掌握变形后整体代入的方式)

问题2: 已知函数f(x)=ax²+ax-6lnx(a∈R), 若f(x)>0恒成立, 求实数a的最小正整数值 (ln1.5»0.405, ln2»0.693)

视具体问题结合具体分析灵活放缩, 可尝试改变系数以达到不同的放缩效果)

问题3: 设f(x)=alnx+x,g(x)=e^x+x, 令h(x)=f(x)-g(x),当a=2时, 证明: h(x)<2ln2-4.

解: 由熟知不等式e^x≥ex, 当且仅当x=1时等号成立,

当a=2时, 得h(x)=2lnx-e^x≤2lnx-ex, 设H(x)=2lnx-ex,

(注: 用e^x≥ex放缩后结合题目中的数2ln2-4,一招制胜, 此外e^x≥ex与e^x≥x+1可互推)

问题4: 已知函数f(x)=x+xlnx,若k∈Z, 且k(x-2)<f(x)对任意x>2恒成立, 则k的最大值为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

方式, 结合具体的情形进行恰当的处理, 可尝试改变系数以达到不同的放缩效果)

通过上面的几个问题, 参变分离法再加上适当的不等式放缩处理, 用简短的过程可以解决问题, 效果是显著的, 但是, 由于放缩法须结合条件与目标进行尝试与调整, 须灵活地恰当地运用好一些常见的指对数不等式, 这导致对具体问题具体分析能力的要求相对较高, 需要平时加强这方面的意识培养, 发散思维,多尝试多运用, 相信是能够不断地精进的, 得心应手是指日可待的. 解题过程中出现的熟知不等式完全可先用, 如实在有必要就最后再补证.

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【作者简介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大学应用数学系并于83年毕业, 获理学士学位, 毕业后分配到杭州商学院担任高数助教二年, 85年考上浙江大学应用数学系攻读计算机辅助几何设计专业硕士研究生学位, 89年获得理学硕士学位, 毕业后回家乡任教于浙江省平阳中学, 96年评上高中数学高级教师职称, 曾连续二十多年担任高中数学竞赛及培优辅导员。