郭宏江——三角函数和e^x,lnx结合试题的破解方法
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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三角函数和ex,lnx结合试题
的破解方法
西安 郭宏江
三角函数和ex,lnx结试题怎么破解，是困扰广大教师的难题，笔者通过认真研读高考试题和各地模拟试题总结出来一些方法，供大家参考：（由于此处难度很大，所以举例多，望各位读者认真体会其中的内在关系）
主要分以下题型：（共三种题型）
（一）sinx,cosx和ex,lnx加减型处理的方法，这类题处主要是以三角函数特别是正余弦函数为主，将区间分成以π/2的整数倍断开，此时不需要考虑指对函数的区间（为什么？）如果是考察零点，则在各个区间内找零点的个数，最后再总结；如果再要证明不等式，可能要进行多次求导，（此时不是盲目的，而是观察到f(x)=0 和f’(x)=0是为了说明一阶导的正负），还要涉及简单的放缩.
以下以2019年全国一卷导数题为例，做以较详细的讲解：
（此处是处理这类题的第二个要点，在π/2的整数倍以后的区间结合正余弦的有界性有方向性的放缩，即达到目的）
以下以2020年福州市高中毕业班质量检测21题第二问为例，体会前边讲过的方法：
（这是此题第一种方法，后边再讲此题第二种方法）
（二） sinx,cosx和ex和乘除型处理的方法，（包括可以化为这种模型的试题），既要体现指数型“交朋友”，又要对三角函数按区间分段，或者抓住，对此求导，直至可以说明为止）
请看下边几例.
一道模考题 ：
有ex和三角函数加减属于不等式证明问题时，也可以转化为相乘除关系处理，以下例子体会以下：
再次以炒得很红的八省第一次联考22题第一问为例:(两种方法）
此种解法，即体现了三角函数的分类标准，也体现了指数型“交朋友”，其中的奥秘读者自己体会.
（三）ex,lnx和三角函数也可以考虑利用切线放缩ex≥x+1(x=0时取等号），lnx≤x-1(x=0时取等号）
以下是一道模考题的第二问：
以上各种解法是自己的一点体会，和各位同行分享.
郭宏江老师往期文章链接：
5.郭宏江——长春市2021届高三质量检测（三）理科数学导数第二问的另解
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