邓启龙——例析同构思想在高中数学解题中的应用

原创邓启龙邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例析同构思想在高中数学

解题中的应用

广东省中山纪念中学(528454)邓启龙

在数学问题中,常常遇见一些数学式子或者变式,它们结构相同,只是变量或者数字不同.此时,可以把它们具有的相同结构提取出来,通过研究这个结构具有的性质来解决问题.本文就来例谈同构思想在解题中的应用.

1 比较大小

2 解方程(组)

注:题目中出现了两个看似结构不同的方程,但其中一个方程经过代换变形后,两个方程结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题.

注:一个式子中出现了两个变量,经过分离变量和适当变形后,式子两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题.

例7 (2020年全国Ⅰ卷理科数学第12题)

3 解不等式

例8 (2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛第10题)

例10(2020年全国Ⅱ卷理科数学第11题)

4 综合问题

【编者按】“同构”应用非常广泛，不仅在函数方程问题中经常运用，在数列和解析几何等问题中，有些问题若用同构思想方法来处理，往往可以达到一箭双雕、减少运算、优化解题过程的作用。下面我们来看同构在数列求通项和圆锥曲线双切线问题中应用。

5 同构在求数列通项公式中的运用

6 同构在解析几何中的应用

例16（2021年八省联考第7题）

解：本解法来源于广东深圳杨俊老师

注：本题运用同构减少了运算。对圆锥曲线的双切线问题若对切线设为同一个式子来处理，往往可以起到事半功倍之效，注意同构思想方法在解析几何中的运用。

同构实际上是一种数学思想方法，是函数与方程思想的具体体现，是函数方程思想的代名词，是函数方程思想的时尚说法。同构在数学中应用非常广泛，在解决问题时，我们要有同构意识，根据问题特点自觉地灵活运用同构思想方法，创造性地解决问题。

邓启龙，男，1987年3月出生，2005年9月至2009年6月就读于南昌大学数学与应用数学专业，2009年9月至2012年6月就读于中国科学技术大学概率论与数理统计专业，2012年至今任教于广东省中山纪念中学。在《数学通讯》《理科考试研究》《中学数学教学》《中学数学研究（广东）》《中学数学研究（江西）》发表论文近二十篇。