邓启龙——函数拐点偏移问题的探究

原创邓启龙邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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函数拐点偏移问题的探究

广东省中山纪念中学(528454)邓启龙

函数极值点偏移问题是近几年高考的热点,也是高考复习中的重点和难点.类似地,函数也存在拐点偏移,处理极值点偏移和拐点偏移问题,有一些成熟有效的方法,比如构造对称函数、利用对数平均不等式等.文[1]通过对函数极值点偏移问题的本质进行探究,得到了处理函数极值点偏移问题的一种新方法.众所周知，函数的拐点也是导函数的极值点，那么函数的拐点偏移和导函数的极值点偏移之间有什么联系呢？本文通过探究，得到了函数的拐点偏移和导函数的极值点偏移之间的关系.

1.极值点偏移

但是以上推导不能代替证明,笔者经过深入探究,得到以下定理并严格证明.

定理1给出了在（a,b）内先上凸后下凸的单调递增函数f(x)的拐点偏移情况的判定方法,若单调递增（减）函数f(x)在(a，b)内先下凸（上凸）后上凸（下凸）,类似地,有以下定理（证明略）.

文[1]通过对函数极值点偏移问题的本质进行探究,得到了判定函数极值点偏移的非常有效的方法.由于函数的拐点偏移和导函数的极值点偏移存在以上关系，于是可以得到判定函数拐点偏移的以下定理：

定理5表明，对于单调递增函数，无论是先上凸后下凸还是先下凸后上凸，若f⁽⁴⁾(x)恒正（负），则拐点x₀右偏(左偏).对于单调递减函数，类似地,有以下定理（证明略）.

3.典型例题

下面给出几个典型的函数拐点偏移问题,并结合本文的定理加以分析.

函数极值点偏移和拐点偏移问题是考查导数的常见的题型,本文通过探究函数拐点偏移和导函数极值点偏移的内在联系,得到了判定函数拐点偏移的非常有效的方法.

参考文献

[1]邓启龙.函数极值点偏移问题的本质探究[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(1):18-19.

邓启龙，男，1987年3月出生，2005年9月至2009年6月就读于南昌大学数学与应用数学专业，2009年9月至2012年6月就读于中国科学技术大学概率论与数理统计专业，2012年至今任教于广东省中山纪念中学。在《数学通讯》《理科考试研究》《中学数学教学》《中学数学研究（广东）》《中学数学研究（江西）》发表论文近二十篇。