彭光焰——再谈一类分式不等式的证明
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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再谈一类分式不等式的证明
湖北省广水市一中 彭光焰
在文[1]中，作者通过对一道常见习题的引申，给出了此类分式不等式的一种简洁证明.在文[2]中，作者通过变量代换，把一类分式不等式的分母化为单项式，进而利用均值不等式和适当的放缩证明不等式.
在文[3]中，有如下的范例：
文[1]用数学归纳法证明了命题2.
上面4个问题以及文[1]中的5个例题是否可以用统一的方法来证明呢？答案是肯定的，用就可以解决它们，而不必去记一些命题或结论，这样做，解题程序化，且操作性强.用
来证明不等式的关键在于根据题设条件恰当地构造向量.
对于前面4个问题，我们可以这样构造向量.
注：有时要把需要证明的不等式进行等价变形之后,再构造向量.
例5（第34届IMO预选题）
分析：这是一道颇有难度的不等式，无论是原证明，还是文[4]所用换元法进行化简后的证明，短时间内都难以想到，而且计算量比较大，文[1]的证明又要先证一个结论.在此，我们利用来证明这个不等式.构造向量时与前面8个问题不一样，前面8个问题分子次数是分母次数的两倍，而本题分子次数与分母次数相等.
从上面的讨论可以看出，这类分式不等式问题分3种情况：第一种是分子次数是分母次数的两倍，第二种是分子次数与分母次数相等，第三种是已知等式条件是分式，且分子是常数，或要证的不等式是分式，且分子是常数.第一种与第三种构造向量的方式是一样的，第二种构造向量的方式是另一种形式，如例5.
参考文献
[1]陆剑红.一个分式不等式的引申及应用.数学教学.2007（1）：25.
[2]盛宏礼.一类分式不等式的一种证法.数学教学研究.2001（1）：38.
[3]高中学科多功能手册数学分册.上海科学技术出版社..2000.
[4]雷动良，用换元法证明不等式.中等数学.2006（4）：16
彭光焰老师往期文章链接
40.彭光焰：构造向量解题
16.彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究
11.彭光焰：方法与过程并行 巧解与通解并重——也谈2013年重庆市高考理科考试说明样题第17题
10.彭光焰：巧用教材资源 命制高考试题 ——对2014年湖北省高考文科数学第17题的探究
8.彭光焰：从“路径依赖”到“另辟蹊径” ———从几道三角题的解法谈起
7.彭光焰：全面理解 多方转化——一道分式函数最值问题的多角度审视
【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。
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