邹生书——高考和模拟考中的斐波那契数列问题解析
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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高考和模拟考中的斐波那契
数列问题解析
湖北省阳新县高级中学 邹生书
斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？
斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列{an}满足： a1=1,a2=1,且an+2=an+an+1 .这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.
事实上，斐波那契数列 的通项公式为，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项都是正整数，并且斐波那契数列有许多有趣性质.
一、斐波那契数列通项公式的证明
二、斐波那契数列常见15个性质
（湖南永州 唐 佳 提供）
三、高考和模拟考试中的斐波那契数列问题
例1：意大利著名数学家斐波那契（1175年—1250年）经过长期时间研究兔子繁殖的数量发现，其数值满足某种规律.他将这些数据罗列出来，写成数列形式：1,1,2,3,5,8,1，….通过探索和不懈的努力，斐波那契得到了其通项公式为.同进发现这一数列的个位数是以60为周期变化的，故此数列称为斐波那契数列。今天，我们借助意大利著名数学家斐波那契对人类的此项贡献，求解的值的个位数为＿＿＿
上述解法由浙江省平阳中学洪一平老师提供，下面编者再给出一个简解。
另解：根据题设提供的结论：“斐波那契数列的个位数是以60为周期变化的”，
【解析】河南师大附中 关仲卿 提供
依据数列递推公式得
例3(2020·江淮十校联考)
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则(a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…(a2 019a2 021－a)等于( )
A．1 B．2 020 C．－1 D．－2 020
解析 从特殊到一般 归纳推理
由题意得a1a3－a＝1，a2a4－a＝－1，a3a5－a＝1，…，
∴当n为奇数时，anan＋2－a＝1；
当n为偶数时，anan＋2－a＝－1，
∴(a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…(a2 019a2 021－a)＝－1.
例 4（多选题）(九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测第12题)
斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂维多•斐波那契以兔子繁殖为例面引入，故又称为“兔子”数列，其通项公式为，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三个数起，每项等于前相邻两项之和，即an+2=an+1+an，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ），
A.S10=11a7 B. a2021=2 a2019+a2018
C. S2021= S2020+ S2019 D.S2019= a2020-1
解析1：逻辑推理
对于选项A.
S10=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143=11a7，
故A正确。
对于选项B.
a2021=a2020+a2019=(a2019 +a2018)+a2019
=2a2019+a2018，
故B正确。
对于选项C.用错位相减法
S2021-S2020=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a2021-a2020)
=1+a1+a2+ a3+…+a2019=1+S2019,
所以S2021=S2020+S2019+1，故C错误。
对于选项D。用裂项相消法
S2019= a1+ a2+ a3+….+ a2019+ a2020
=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(a2021-a2020)
=a2021-1，
所以S2019= a2021-1,故选项D错误。
解法2：特殊化与一般化相结合，合情推理与逻辑推理相交汇
对于选项B,我们考察一般情形：
a2n+3=2a2n+1 +a2n是否正确.
当n=1时,左边=a5=5,右边=2 a3 +a2 =5,等式成立;
当n=2时,左边=a7=13,右边=2 a5 +a4 =13,等式成立;
当n=3时,左边=a9=34,右边=2 a7 +a6=34,等式成立;
由此，猜想正确，从而选项B正确。
对于选项C,我们来看一般情形Sn, Sn+1,Sn+2之间是否存在某种相等关系,
考察Sn +Sn+1-Sn+2的结果.
S1+S2-S3=1+2-4=-1；
S2+S3-S4=2+4-7=-1；
S3+S4-S5=4+7-12=-1；
由此猜想：Sn+Sn+1-Sn+2=-1,
于是有Sn+2=Sn+Sn+1 +1，
从而S2021=S2020+S2019+1，
故C错误。
对于选项D，我们来看一般情形Sn与an+2之间是否
存在某种等量关系，考察Sn-an+2的结果.
S1-a3=1-2=-1,S2-a4=2-3=-1,
S3-a5=4-5=-1,S4-a6=7-8=-1,
由此猜想S2019= a2021-1,故选项D错误。
例 5（多选题）(九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测巩固卷第12题)
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,….其中从第三个数起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
解析：用合情推理中的归纳法,从特殊到特殊发现规律求解。
根据“斐波那契数列”的定义可以写出数列的所有项，
数列{an}前面的部分项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
易知a6=8，S7=33，所以选项A,B都正确。
对于选项C，我们考察一般情形：
a1+a3+ a5+…+a2n-1=a2n是否正确。
当n=1时，左边=a1=1，右边=a2=1;
当n=2时，左边=a1+a3=3，右边=a4=3;
当n=3时，左边a1+ a3+ a5=8，右边=a6=8;
当n=4时，左边a1+ a3+ a5+a7=21，右边=a8=8=21;
由此,猜想a1+a3+ a5+…+a2n-1=a2n正确,
从而选项C正确。
对于选项D，我们考察一般情形：
综上，正确的选项是ABCD.
【评注】四个选项的多选题，如果设置的四个选项都正确，由评分细则知，考生任选1个或2个或3个选项都可以得2分，只有选择了四个选项才能得满分5分，不会出现得0分的情形。这样考生的分数只有2分和5分两个等级，拉不开档次，显得区分度不够，建议不出或少出四个选项都正确的多选题。
下面是2009福建卷的一道高考题。
【例6】5位学生围成一圈依序循环报数，规定：
（1）第1位学生首次报出的数为1，第2位学生首次报出的数也为1，之后每位学生所报出的数都是前2位学生报出的数之和．
（2）若报出的数为3的倍数，则报该数的学生,需拍手一次．
已知学生甲第1个报数，当5位学生依序循环报到第100个数时，学生甲拍手的总次数为 .
【解析】设报到n 个数为an,
则a1=1,a2=1,an+an+1=an+2 .
这个数列就是著名的斐波那契数列，前面各项依次为：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,
归纳发现a4m为3的倍数.下面用数学归纳法证明：
（1）当m=1 时，a4 =3 ，命题成立；
（2）假设当m=k时，a4k为3的倍数，
则当m=k+1时,
a4k+4= a4k+2+a4k+3= a4k+a4k+1+( a4k+1 +a4k+2)
= a4k+2a4k+1++a4k+2= 2a4k+3a4k+1也是3的倍数.
由（1)（2）可知,a4m为3的倍数.
依题意，学生甲报的数为a5k+1 (0≤k≤19,k∈N*),这些数中是3 的倍数有a16,a36, a56,a76, a96,故学生甲拍手的总次数为5.
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