刘耀忠——三道烧脑的求概率问题

刘耀忠邹生书数学

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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三道烧脑的求概率问题

刘耀忠汕头潮阳实验学校高中部

【题1】(2020年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为0.5,

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

【题2】足球比赛全场比赛时间90分钟。在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需要进行30分钟的加进赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定作胜负。“点球大战”的规则如下：①两队各排5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则不需要踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2：0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮。直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜。

（1）已知小明在点球训练中射进点球的概率是3/5，在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响。记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望。

（2）现有甲、乙两校队在淘汰赛中需要分出胜负相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出决出胜负。设甲队每名球员射进的概率为3/5，甲队每名球员射进的概率为1/2，

每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响。求在第四轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率。