拉格朗日乘子法（见学习笔记|拉格朗日乘子法）给出了将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题，从而求解优化问题的方法。但是它只针对特定的优化问题，即约束为等式的情况。那么对于一般的线性规划问题，能否通过拉格朗日乘子法求解呢？可以将一般线性规划转化标准形式，然后使用拉格朗日乘子法。

1. 线性规划的标准形式

线性规划的标准形式如下：

其中，。

它有四个特点：

1. 目标是求最大化；
2. 约束条件皆为等式；
3. 决策变量非负；
4. 右端常数项非负。

2. 线性规划的标准化

线性规划的标准化，即使线性规划满足上述标准形式的四个特点。

1. 目标不是求最大化。

那么，目标必然是求最小化，即

令w=-z即可将目标转化为

2. 约束条件不全是等式。

假设第一个不是等式的约束条件为

令，则有

其中，称为松弛变量。

假设第一个不是等式的约束条件为

令，则有

其中，称为剩余变量。

对于其余可能存在的非等式约束条件，可以以同样的方法转化为等式，且所有的松弛变量和剩余变量皆大于等于0。

3. 不是所有的决策变量都有非负约束

假设第一个没有非负约束的决策变量为。

令，且。

对其余没有非负约束的决策变量进行同样的变换，可以将所有的决策变量转化为非负变量。

4. 不是所有的右端常数项都是非负的。

假设第一个为负数的右端常数项为，且约束条件为。

将该约束条件两端加上负号，可得

其中。

最终，各种形式的线性规划问题都可转化为标准形式，从而套用拉格朗日乘子法求解。那么，是否对所有的线性规划问题，拉格朗日乘子法都能适用呢？下篇探讨。

参考文献

1.https://wenku.baidu.com/view/cdffad2d571252d380eb6294dd88d0d233d43c0c.html
2.https://zhuanlan.zhihu.com/p/31729190
3.https://max.book118.com/html/2018/0814/5042013030001310.shtm

相关链接：

1. 学习笔记|对偶理论入门
2. 学习笔记|拉格朗日乘子法
3. 学习笔记|最大熵模型的理解
4. 学习笔记|最大熵模型
5. 学习笔记|似然函数与极大似然估计