学习笔记|凸函数的定义与性质
学习笔记|广义拉格朗日函数与KKT条件的应用中提到了凸函数的性质，今天来对凸函数及其性质做个回顾。
1. 凸函数的定义
凸函数可以有多种相互等价的定义，它们也揭示了凸函数的重要性质。
定义1： f(x)为定义在凸集上的函数。若对，有，则称f(x)为定义在上的凸函数。若对，有，则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
那么什么是凸集？
凸集定义： 对集合S，若，，有，则称S为凸集。
定义2： f(x)为定义在凸集上的函数。若对，，有，则称f(x)为定义在上的凸函数。若对，有，则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义3： f(x)为定义在凸集上的函数。若，且，对有，则称f(x)为定义在上的凸函数。若，且，对有，则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义4： f(x)为定义在凸集上的函数。若对，且，有，则称f(x)为定义在上的凸函数。若对，且，有，则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义5： f(x)为定义在凸集上的函数。若对，，且，有，则称f(x)为定义在上的凸函数。若对，，且，有，则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义6： 若f(x)在凸集上具有一阶连续偏导数，当且仅当，有时，f(x)是定义在上的凸函数，当且仅当对，有时，f(x)是定义在上的严格凸函数。
定义7： 若f(x)在凸集上具有二阶连续偏导数，当且仅当，有Hesse矩阵半正定时，f(x)是定义在上的凸函数，当且仅当，有Hesse矩阵正定时，f(x)是定义在上的严格凸函数。
定义7所谓Hesse矩阵
2. 凸函数的性质
性质1： 若f(x)是定义在凸集上的凸函数，则对，kf(x)是定义在上的凸函数；对，kf(x)是定义在上的凹函数。
性质2： 若是定义在凸集上的凸函数，则是定义在上的凸函数。
性质3： 若f(x)是定义在凸集上的凸函数，则对，集合是凸集。
性质4： 若f(x)是定义在凸集上的凸函数，则f(x)的任一极小点都是它在上的全局极小点，而且所有极小点的集合是凸集。
性质5： 若是定义在凸集上的凸函数，则是定义在上的凸函数。
后记
本篇更像资料的整理，对于凸函数的各种定义和性质仅做了简单的梳理，没有进行完整的推导与证明，并不具有完备性，且可能存在一些疏漏之处。
参考文献
1.https://baike.baidu.com/item/%E5%87%B8%E5%87%BD%E6%95%B0/3371735?fr=aladdin
2.https://blog.csdn.net/wang136958280/article/details/86510927
2.https://blog.csdn.net/weixin_43593330/article/details/105782907
3.https://www.renrendoc.com/paper/87692534.html