学习笔记|广义拉格朗日函数与KKT条件的应用中提到了凸函数的性质,今天来对凸函数及其性质做个回顾。
凸函数可以有多种相互等价的定义,它们也揭示了凸函数的重要性质。
定义1: f(x)为定义在凸集上的函数。若对,有,则称f(x)为定义在上的凸函数。若对,有,则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
那么什么是凸集?
凸集定义: 对集合S,若,,有,则称S为凸集。
定义2: f(x)为定义在凸集上的函数。若对,,有,则称f(x)为定义在上的凸函数。若对,有,则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义3: f(x)为定义在凸集上的函数。若,且,对有,则称f(x)为定义在上的凸函数。若,且,对有,则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义4: f(x)为定义在凸集上的函数。若对,且,有,则称f(x)为定义在上的凸函数。若对,且,有,则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义5: f(x)为定义在凸集上的函数。若对,,且,有,则称f(x)为定义在上的凸函数。若对,,且,有,则称f(x)为定义在上的严格凸函数。
定义6: 若f(x)在凸集上具有一阶连续偏导数,当且仅当,有时,f(x)是定义在上的凸函数,当且仅当对,有时,f(x)是定义在上的严格凸函数。
定义7: 若f(x)在凸集上具有二阶连续偏导数,当且仅当,有Hesse矩阵半正定时,f(x)是定义在上的凸函数,当且仅当,有Hesse矩阵正定时,f(x)是定义在上的严格凸函数。
定义7所谓Hesse矩阵
性质1: 若f(x)是定义在凸集上的凸函数,则对,kf(x)是定义在上的凸函数;对,kf(x)是定义在上的凹函数。
性质2: 若是定义在凸集上的凸函数,则是定义在上的凸函数。
性质3: 若f(x)是定义在凸集上的凸函数,则对,集合是凸集。
性质4: 若f(x)是定义在凸集上的凸函数,则f(x)的任一极小点都是它在上的全局极小点,而且所有极小点的集合是凸集。
性质5: 若是定义在凸集上的凸函数,则是定义在上的凸函数。
本篇更像资料的整理,对于凸函数的各种定义和性质仅做了简单的梳理,没有进行完整的推导与证明,并不具有完备性,且可能存在一些疏漏之处。
1.https://baike.baidu.com/item/%E5%87%B8%E5%87%BD%E6%95%B0/3371735?fr=aladdin
2.https://blog.csdn.net/wang136958280/article/details/86510927
2.https://blog.csdn.net/weixin_43593330/article/details/105782907
3.https://www.renrendoc.com/paper/87692534.html