矩阵A中所有元素组成的行列式称为矩阵的行列式,记作|A|或det(A)。
对于
划去元素所对应的第i行第j列后所留下的n-1阶行列式称为元素的余子式,记作。
记
称为的代数余子式。
其中,i=1,2,...,n
当n=2时,
证:
假设。
当n=2时,
假设n=k-1时,有
当n=k时,假设
显然,
当i=1时,
当i=2时,
当i>2且i<k-1时,
易得,当i=k-1或i=k时,同样有
所以,有
得证。
证:
假设。
对∀i=1,2,...,n,有
因此,|kA|=|A|。
证:
∴。
证: 不妨假设第i行全为0,则
得证。
证:
先证某两行相等。不失一般性,假设第1行与第2行相等。
对于
划去元素所对应的第行第列,再划去元素所对应的第行第列后所留下的n-2阶行列式记作。
显然有。
当n=2时,
当n>0时,
对∀有,得
同时必有,得
两项相加,有
因此,|A|=0。
同理可得,某两列相等时,|A|=0。
得证。
证:
先证|E(j,i(k))A|=|A|
同理可得|AE(j,i(k))|=|A|
不断左乘E(j,i(k))可将A变换为上三角矩阵C,即
不断右乘E(i,j(k))可将C变换为对角矩阵Λ,即
有|A|=|C|=|Λ|
将Λ记为
显然有
所以
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