1. 定义

矩阵A中所有元素组成的行列式称为矩阵的行列式，记作|A|或det(A)。

对于

划去元素所对应的第i行第j列后所留下的n-1阶行列式称为元素的余子式，记作。

记

称为的代数余子式。

其中，i=1,2,...,n

当n=2时，

2. 矩阵行列式的性质

2.1. 。

证：

假设。

当n=2时，

假设n=k-1时，有

当n=k时，假设

显然，

当i=1时，

当i=2时，

当i>2且i<k-1时，

易得，当i=k-1或i=k时，同样有

所以，有

得证。

2.2. |kA|=|A|。

证：

假设。

对∀i=1,2,...,n，有

因此，|kA|=|A|。

2.3. 若A可逆，则。

证：

∴。

2.4. 若A的某一行全为0，则|A|=0。

证： 不妨假设第i行全为0，则

得证。

2.5. 若A的某两行或某两列相等，则|A|=0。

证：

先证某两行相等。不失一般性，假设第1行与第2行相等。

对于

划去元素所对应的第行第列，再划去元素所对应的第行第列后所留下的n-2阶行列式记作。

显然有。

当n=2时，

当n>0时，

对∀有，得

同时必有，得

两项相加，有

因此，|A|=0。

同理可得，某两列相等时，|A|=0。

得证。

2.6. |AB|=|A||B|。

证：

先证|E(j,i(k))A|=|A|

同理可得|AE(j,i(k))|=|A|

不断左乘E(j,i(k))可将A变换为上三角矩阵C，即

不断右乘E(i,j(k))可将C变换为对角矩阵Λ，即

有|A|=|C|=|Λ|

将Λ记为

显然有

所以

参考文献：

1.https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/18882017?fr=aladdin

相关链接：

1. 学习笔记|矩阵秩的性质之二
2. 学习笔记|矩阵秩的性质之一
3. 学习笔记|矩阵秩的定义与证明
4. 学习笔记|矩阵的等价
5. 学习笔记|矩阵的初等变换