学习笔记|矩阵的特征值
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1. 矩阵特征值的定义
设，若对λ∈R，∃x∈且x≠0，有Ax=λx，则称λ为A的一个特征值或本征值。
Ax=λx等价于(λE-A)x=0。它是n个n元一次齐次方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式|λE-A|=0。
2. 矩阵特征值的性质
2.1. 的所有特征根为（包括重根），则：，。
证：
因为
是方程f(λ)=|A-λE|=0的解。
所以
只有分项
会形成
项，其系数为
所以
当λ=0时，
所以
2.2. 若可逆，λ为A的一个特征根，x为对应的特征向量，则为的特征根，x仍为对应的特征向量。
证：
得证。
2.3. 若可逆，λ为A的一个特征根，x为对应的特征向量，则为的特征根，x仍为对应的特征向量。
证：
假设m-1时，有，则
得证。
2.4. 若可逆，为A的m个互不相同的特征根，为与对应的特征向量i=1,2,...,m，则线性无关。
证： 假设线性相关，则不全为0，有
不妨假设≠0，则
与题设矛盾，所以线性无关。
2.5. 矩阵A与的特征值相同。
证：
所以
与|λE-A|=0有相同的解。
所以矩阵A与的特征值相同。
参考文献
1.https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC/8309765?fr=aladdin
2.https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html
3.https://zhidao.baidu.com/question/1113296864016885619.html
4.https://www.cnblogs.com/agwyo/p/15154633.html
5.统计学习方法（第2版），李航著，清华大学出版社