学习笔记|正交矩阵
量化策略s
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正交矩阵是矩阵中一个非常重要的概念，在特征值分解、奇异值分解等领域都有应用（可参见AI数学基础之线性代数——华为AI学习笔记4）
1. 定义
对，如果，或者，则称A为正交矩阵。
2. 性质
2.1. 若A是正交矩阵，则是正交矩阵。
证：
得证
2.2. 若A是正交矩阵，则A的各列都是单位向量，且两两正交。
证：
假设
i=1,2,...,n
所以
是单位向量，i=1,2,...,n
i=1,2,...,n,j=1,2,...,n且i≠j
即与正交
得证
2.3. 若A是正交矩阵，则A的各行都是单位向量，且两两正交。
证：
略，可参见2.2.的证明
2.4. 若A是正交矩阵，则|A|=1或|A|=-1。
证：
可参见学习笔记|矩阵的行列式）
所以
|A|=1或|A|=-1
2.5. 若A是正交矩阵，则。
证：
2.6. 若A是正交矩阵，则是正交矩阵。
证：
是正交矩阵（根据性质2.1.）
所以是正交矩阵。
2.7. 若A、B是正交矩阵，则AB是正交矩阵。
证：
（可参见学习笔记|矩阵转置的性质4）
得证。
参考文献
1.https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5/407284?fr=aladdin