数学家庞加莱与面包的故事

虽然对于大部分人来说，“数学题”是个让人反感的词，但是本题的背景还是挺有意思的。

亨利·庞加莱（Jules Henri Poincaré）是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，曾经提出著名的“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。（当然，它与本文无关。）

按照题设，庞加莱是个很喜欢吃面包的人（庞加莱：？？？），他经常光顾同一家面包店。

这家面包店有一个“诚信”的面包师，为了迎合顾客，声称：

店里面的面包平均重量是  ，上下浮动  。

而在数学家庞加莱的眼中，这句话的意思是：

面包的重量（记为  ，单位  ）服从期望为  ，标准差为  的正态分布，即  。

什么是正态分布呢？

例如，将全世界所有人的身高都统计一遍，并画在坐标系中，就会得到这样一条曲线：

正态分布曲线

自然界中的许多东西，都可以近似满足这个规律，例如人的颜值、智商等等。

如果面包师没有说谎的话，上面提到的面包重量，也可以视作满足这个规律。

但是呢，追求严谨的数学家是不会轻易相信面包师说的话的。

于是庞加莱心血来潮，想要统计一下每天买来的面包的质量，并由此判断面包师有没有说谎。

接下来，我们用数据说话：

25天来，庞加莱坚持买面包并称重，获得了以上数据。

其实细心点就可以看出：以9开头的数字远多于以1开头的数字！

庞加莱心想：这下发现问题了。于是他兴冲冲地开始了计算。

经过计算，这几个面包的平均质量是  ，标准差是  。

庞加莱认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，但质检员却感到疑惑：这几个面包确实满足上面所说的条件，平均重量  ，上下浮动  。为什么会被认为是偷工减料呢？

没错，这就是庞加莱喜欢吃的面包！

庞加莱给出了解释，也就是著名的正态分布的  原理。

如果随机变量  ，那么可以计算得到：

 ；

 ；

 。

什么意思呢？也就是说，变量  的值与平均值  相差  的概率就已经很小了，而相差超过  的概率甚至不足  。

在本题中，所获得的面包的平均值也可以视作服从正态分布。

而平均值的方差变为  。

因此，由上面的计算可知，平均值低于  的概率只有  ，进一步看，低于  的概率只有  ，可以说是“小概率事件”。

有这样的“小概率事件”发生，那么就有两种可能的原因：庞加莱运气特别好，或是面包店老师偷工减料。而庞加莱选择了后者。

因此，质检员被说服了，面包师接受惩罚，并承诺一定会整改。

社会主义核心价值观

按照故事正常的走向，面包师以此为鉴，诚信经营，从此走上了弘扬“爱国，敬业，诚信，友善”的社会主义核心价值观的道路，为建设社会主义现代化强国出自己的一份力。

如果故事到这里就结束了，那么未免不够精彩。

接下来一段时间，庞加莱依然每天去这家面包店买面包，并且一样对每个自己买到的面包称重，做好记录。

又过了25天，这次庞加莱得到了一组全新的数据：

这25个面包的质量，平均值为  ，标准差为  。

咋一看，这次面包平均质量居然上升了，说明举报还是有引起面包师的重视的。

本来以为这次的面包已经足够让人满意了，但没想到庞加莱再次把面包师举报了。

这次是为什么呢？

（注：此即为原题的最后一小题）

仔细一看，这次的标准差小得异常，居然只有  ，远小于之前的  。

而面包质量的标准差，一定程度上也代表了面包师的手艺。

难道面包师的手艺在短时间内取得了巨大的突破？不可能。

因此庞加莱得出结论：一定是选取面包的时候不够“随机”，有人为干涉的成分。

也就是说，当面包师在人群中看到庞加莱时，会特地选取较大的面包给庞加莱。

于是庞加莱认为面包师在制作面包时仍然有问题，再次举报了面包师，揭穿了面包师自以为“天衣无缝”的谎言。

好好学数学吧！

这个故事告诉我们：千万不要试图欺负数学家，数学家可是很厉害的！

附：原题参考答案及评分标准

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