“科比球”背后的数学

数学与通识

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引言

2020 年 1 月 26 日，科比乘坐的西科斯基 S-76B 型飞机在洛杉矶西部的卡拉巴萨斯城外的山坡上坠毁。篮球传奇巨星科比布莱恩特、他13岁的女儿吉安娜和其他七人遇难 ^[1]。图 1 是科比生前打篮球的照片，图 2 是消防员在卡拉巴萨斯的直升机坠毁现场。

科比的突然离去令小模王深感惋惜，科比无疑是 NBA 历史上最杰出的球员之一。以下是科比曾经获得过的一些成就：

5 座NBA总冠军奖杯（2000年、2001年、2002年、2009年与2010年）；
科比生涯总得分为 33643 分，排名NBA历史第 3；
科比季后赛总得分为 5640 分，排名NBA历史第 4；
科比生涯共有 25 次单场得分 50+，排名NBA历史第 3。

NBA中国官方网站曾用 20 个数字回顾科比生涯 ^[2]。但是在科比的职业生涯中，却经常听到有人说他投篮太多，然而在比赛关键的时刻，大家却又想让科比出手。那么，我们该如何解决这个明显的悖论呢?《今日科学》（Science Now ）曾发表的一篇文章详细介绍了明尼苏达大学（University of Minnesota）研究篮球投篮选择背后的数学和物理学原理 ^[3]。以该文为蓝本，本文主要探究以下两个问题：

“湖人队” 每次在关键时刻都把篮球传给科比的做法是对的吗？
如何选择投篮时机以获得更高的得分，或者说何时选择传球，何时选择投篮？

模型

在篮球比赛进行的过程中，总会面临选择投篮还是传球给队友的问题，本文建立“投篮或传球”的数学模型，求解在比赛过程中如何在投篮和传球之间作出选择 ^[4]。图 3 为一名球员面临投篮或是传球给队友的问题。

篮球运动每次投篮的机会都要靠进攻来争取，队友之间相互传球调整位置以获得更高的投篮质量。本文假设每次进攻产生投篮机会的质量是随机的，与其它的投篮机会无关；即认为每次投篮机会的质量随机分布于最差投篮质量和最优投篮质量之间。简而言之，投篮质量就是此次进攻产生的投篮机会下，如果选择投篮的得分期望值。假设每次进球记一分，则。

本文首先计算出投篮机会质量的最优临界值，即当投篮机会的质量时，选择投篮会让球队的得分最大化，反之选择传球会获得更高的得分期望。需要指出的是，依赖于控球前提下剩余的投球机会数量，并且应该是单调递增函数：

如果没有 “24秒篮球进攻时限” ^[5]，且控球不存在失误，即球队存在次投篮机会，那么球队就可以不断调整进攻，直到投篮机会质量最好时，即肯定能投中的时候再选择投篮。此时投篮机会质量为，即才选择投篮。
如果在控球情况下只剩一两次投篮机会，那么即使投篮质量比较差（），还是应该选择投篮。所以，当剩余的投球机会数量时，。

不考虑控球失误，考虑进攻时限

首先考虑只剩最后一次投篮机会 () 的情况，那么此时球队必须选择投篮，如果每次进球记一分，则此时投篮得分的期望值就是正常投一次篮得分的期望值：

接着考虑球队如果传球，还有时间重新进攻获得一次投篮机会的情况，即时；那么此时球队将会面临选择投篮还是传球，假设控球的球员判断投篮质量低于值时会选择放弃投篮，则此时球得分的期望值应为：

其中，为投篮质量 > 的概率，为投篮质量大于时选择投篮的得分期望值。为投篮质量小于选择传球的概率，那么传球后的得分期望值就是，即放弃投篮后，面临最后一次投篮的得分期望值，最后得到的就是除了当前投篮机会，还剩一次投篮机会时的得分期望值。根据之前对的定义，的最优值即为，即当时，获得最大值，所以在处的导数为 0：

因此结合以上两式可解得；即当投篮质量高于平均投篮质量时，选择投篮。用同样的方法，得到放弃此次投篮后还有次投篮机会时，用来计算得分的通用式：

其中为选择传球后，还剩次投篮机会的得分期望值。此时当时获得最大值，即：

其中。这表明，当此次进攻获得的投篮质量高于传球后调整进攻再投篮的得分期望值时，应该选择投篮。将代入式，可将其改写为递归式，即可以计算出为任何值时对应的投篮质量最优临界值 :

考虑控球失误，不考虑进攻时限

实际的篮球比赛中，肯定存在控球失误，即球被对方球员抢断，或者犯规导致进攻被打断的情况。如图 4 所示。

本节考虑控球失误，但是不考虑进攻时限。那么在这种情况下，球队进攻获得的投篮机会数量仅仅受控球失误的影响，因此不存在剩余投篮次数的定义。这意味着最优值是一个单一数值而不是随着变化的函数，它只与、以及控球失误率存在关系。为了计算，可以认为球队的平均得分在每一次进攻时都是一样的，不管他们是否选择放弃投篮。因此当投篮质量超过时，选择投篮是最好的选择，即，并且因为在这种情况下球队的平均得分在每一次进攻时都是一样，所以当时得到的期望值也是，将它们代入式中可得：

其中，为控球失误率，那么控球失误的得分即为 0，即为没有失误的几率，这是一个关于的一元二次方程，求解得投篮质量的最优临界值 :

其中，，，为正实数；当时，。

考虑控球失误，考虑时限

在本节中，综合考虑之前的内容，既考虑控球失误，又考虑进攻时限。可得到这种情况下投篮质量的最优临界值关于剩余投篮机会数量的函数关系：

考虑投篮率

以上模型给出了投篮质量的最优临界值与剩余投篮机会量的函数，可以帮助球员判断 “什么时候该投篮，什么时候该传球”。然而，这些结果并不能直接回答 “球队的投篮是否最佳?” 也就是说，在一场真正的比赛中，球队的剩余投篮机会量并不好判断。因此在本节中引入 “24秒进攻时限”，研究进攻剩余时间与的关系。为此定义 “投篮率” ，即某一时刻投篮的可能性。

为了计算最优投篮率和时间的函数，需要假定投篮机会平均出现率。例如，当一个球队的投篮机会的平均出现率为，说明在 24 秒内该球队会平均获得 4 次投篮机会。根据泊松分布，给出在有限的时间内球队投篮机会出现次的概率为：

其中，为在时间内平均的投篮机会数，即为时间内出现次投篮机会的概率。

放弃当前投篮机会，通过进攻重新出现的投篮机会之间的控球失误率为：

被积函数中，为平均失误率，失误的次数同样符合泊松分布，则当失误次数时的即为时间内不存在失误的概率，那么，即为至少存在一次失误的概率。放弃了当前投篮机会，并在时间内通过进攻重新创造一个投球机会的概率即为

这两个式子相乘后，这个被积函数的整体意义即为：在进攻时间内产生一次投篮机会控球失误的概率。

考虑一个球队在剩下次投篮机会的情况下最佳投球的概率，那么在投篮机会剩余次投篮最优的概率为，因为无论为多少，都代表当前具有投篮机会，所以需要将其除以获得每秒钟的最优投篮率。则该队在区间内投篮的概率即为所有剩余次数下最优投篮率的加和：

将之前得到的代入上式得：

其中，由考虑控球失误,考虑时限的模型求得。

结果

通过考虑控球失误,考虑时限的模型可以得到不同剩余投篮机会对应的最优临界投篮质量，设球队的最差投篮质量，最优投篮质量。球队每 4 秒会获得一次投篮机会，即，代入考虑投篮率的模型得到的中可得比赛时间还剩 35 秒内的变化，无量纲为在时刻出现投篮机会后满足最佳投篮的概率，结果如图 5 中的蓝线所示。同样的，我们可以计算得到没有控球失误时，即的最佳投篮率变化，如图 5 中的红线所示，程序见附录代码 1 和代码 2。

可以发现有限的控球失误率下，最佳投篮率明显要高于没有失误的时候。也就是说，当控球会存在失误的时候，就不能那么高的要求投篮质量了。同样可以得到最佳投篮质量临界值与时间的关系，。结果如图 6 所示，程序见附录代码 1 和代码 3。

实际上，NBA 规定每次进攻的时限为 24 秒（Shot clock）^[5]。文献 ^[5] 中通过比对 NBA 的投篮平均得分，结合理论平均得分计算公式，可以拟合出参数，， s， s。因此可以得到 NBA 的最佳投篮率和平均投篮质量的曲线，如图 7 和 8 所示。程序见附录代码 4 和代码 5。

其中，绿色空心的圆圈代表前 7 秒的投篮，常称为“快攻”，本文所建立的理论模型并没有很好地描述这种进攻行为。通过将 NBA 球队的数据和图 7 中的最优曲线（蓝线）比较，可以发现球队投球策略的不足。例如，NBA 球队在时间还剩 15 秒的时候平均只有 4% 的投篮概率，而最优策略建议这个时候投篮概率应该高达 12%。也就是说，NBA 球员更有可能在投篮时间的最后几秒才出手，他们因此可能会很匆忙，导致投篮命中率较低。

同样的，可以计算出“24秒进攻时限”下最优投篮质量的临界值，如图 9 所示，程序见附录代码 5。