相亲数：数字表达的爱

市面上你可能还可以买到由两片分别刻有“220”和“284”的半边心形拼成的钥匙串或者首饰。人们购买它们，并将一半送给心爱的人，将另一半留给自己，我也做过这样的事。相传于古希腊，220 和 284 是友情和浪漫的象征，直到现在，仍有一些书呆子使用这个寓意。

220 的因子包括 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55 和 110。它们看起来似乎没有什么奇特之处，但是如果将它们加起来，你就会发现它们的和恰好等于 284。这也没什么特别的？那就再将 284 的所有因子（1、2、4、71、142）加起来，结果会是——220。将一个数的所有因子加起来会得到另外一个数，220 和 284 就是这样亲密相连，因而得到了一个名字：「亲和数（amicable number）」(相亲数)。

这两个数不是唯一的亲和数。费马在 1636 年发现了一对新的亲和数，它们是 17,296 和 18,416。但要使用它们，你可能得买个大一点的钥匙串或者首饰。勒内·笛卡尔（Rene Descartes）在 1638 年又发现了一对亲和数——9,363,584 和 9,437,056，要使用这两个数字，估计只能镶边了。1747 年，欧拉也加入了寻找亲和数的游戏中，并发现了大约 60 对新的亲和数，好好地炫耀了一把。但是所有人都没有发现第二小的亲和数对——1,184 和 1,210，它们在 1866 年被当时只有 16 岁的中学生 B.尼科洛·I.帕格尼尼（B. Nicolo I. Paganini）发现。我们已无从考证他发现的动力是来自恋爱还是研究数学。

如果你想知道更多亲和数，可以在以下网站上找到所有已知的亲和数及其发现者的信息：http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm。

我们仍然对亲和数了解甚少。长久以来，有一个猜想认为所有亲和数都是 2 或 3 的倍数，但是 1988 年发现的两个亲和数——42,262,694,537,514,864,075,544,955,198,125 和 42,405,817,271,188,606,697,466,971,841,875 证明了这个猜想是错误的。于是猜想又变成：所有亲和数都是 2、3 或 5 的倍数，但人们在 1997 年又发现了一个包含 193 个数字的反例。还有猜想断言有无穷多对亲和数，但即便现在已经找到了至少 11,994,387 对亲和数，说实话，我已经不知道该相信谁了。

12,496 是亲和数的变异，将它的因子加起来，会得到 14,288；再将 14,288 的因子加起来，会得到 15,472；持续这个过程，15,472 会变成 14,536，14,536 会变成 14,264，14,264 会变成 12,496，正好回到起点。不过不管怎样，这一趟下来还真是刺激！通对因子求和，我们得到了这个由 5 个数组成的环路。这样的数链被称为「交际数（sociable number）」。还有环路长度远远超过 5 的交际数。它们虽没有亲和数关系紧密，但是我们对它们持开放态度。［你可能已经注意到，我们把原数本身排除在因子之外，对所谓的“真因子”（proper factor，即所有包括 1 但不包括原数本身的因子）求和。］

接下来，最神奇的数要来了：有一些罕见的数，当你把它们的因子相加，会得到原数。最小的例子是 6，6 的因子是 1、2 和 3，而 1+2+3=6；之后是 28，因为 28=1+2+4+7+14。古希腊人称这些数为「完全数（perfect number）」。下一个完全数是 496，再接下来就是一个比较大的跨越，到了 8,128。再往后，就越来越荒唐了。下一个完全数是 33,550,336，接下来是 8,589,869,056，后脚紧跟着的是 137,438,691,328，再后面那个拖后腿的则是 2,305,843,008,139,952,128。

古希腊人发现了 8,128 之内的前 4 个完全数。33,550,336 首次确认为完全数是在 1456 年，后面的 7 个完全数都是在后来的 500 年中发现的，最大的完全数含有 77 个数字。从 1952 年开始，计算机的应用发现了另外 36 个更大的完全数。目前已知的最大完全数是在 2013 年发现的，包含 34,850,340 个数字（最后一个数字是 6）。这让人非常震惊，它的真因子多达 115,770,321 个，加起来竟然恰好等于自身。

完全数的发现和我们已经提到过的一个问题关系非常紧密：「寻找梅森素数」。迄今为止，所有已发现的完全数都是某个梅森素数的倍数。在欧几里得的时代，他在《几何原本》第七卷中将完全数定义成“诸分之合数”，并且证明了所有偶完全数都有一个梅森素数因子。欧拉随后又证明了一个（稍微有点不同）的结论：所有梅森素数都是某个完全数的因子（欧几里得和欧拉终于成功合体，而且这不仅仅是因为他们都姓“欧”）。因此，每当发现一个梅森素数，我们就会同时免费得到一个完全数。

完全数还有缺失的方面：奇完全数。到现在为止，我们发现的全是偶完全数，但奇完全数完全有可能存在。如果它们存在，我们知道它们的因子里没有梅森素数，它们会具有一些我们从未想到过的性质。虽然大多数人猜想不存在奇完全数，但对奇完全数的搜寻一直没有停止。这需要大量的计算资源，所以很自然地，有一个分布式计算项目在寻找它们。

来源：遇见数学，以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！