矩阵求逆的几何意义是什么？

向量：[a1, a2, a3, ..., an]

矩阵：
       a11, a12, a13, ..., a1n
       a21, a22, a23, ..., a2n
                 ...
       an1, an2, an3, ..., ann

现只讨论这个n阶非奇异方阵，如果一组向量彼此线性无关——它们就可以成为度量这个线性空间的一组基→成为一个坐标系体系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。

1. 坐标系不动，点动，把(1, 1)点挪到(2, 3)。

2. 点不动，坐标系动，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3，这样点还是那个点，可是点的坐标就变成(2, 3)了。

第①种方式即把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程。在这个方式下，“Ma = b”的意思是：向量a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b；而从第②种方式来看，矩阵M描述了一个坐标系，姑且也称之为M。那么“Ma = b”的意思是：有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是b。

这里的I是指单位矩阵。而这两个方式本质上是等价的。在M为坐标系的意义下，如果把M放在一个向量a的前面，形成Ma的样式，我们可以认为这是对向量a的一个环境声明。它相当于是说：“注意了！这里有一个向量，它在坐标系M中度量，得到的度量结果可以表达为a。可是它在别的坐标系里度量的话，就会得到不同的结果。为了明确，我把M放在前面，让你明白，这是该向量在坐标系M中度量的结果。那么我们再看孤零零的向量b：

多看几遍，你没看出来吗？它其实不是b，它是：Ib

也就是说：“在单位坐标系，也就是我们通常说的直角坐标系I中，有一个向量，度量的结果是b。”

而 Ma = Ib的意思就是说：

“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，其实根本就是一个向量啊！”这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛。从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在，但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式，就是 Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。我们平时说一个向量是[2 3 5 7]T，隐含着是说，这个向量在 I 坐标系中的度量结果是[2 3 5 7]T，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情况。

注意到，M矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题。也就是说，表述一个矩阵的一般方法，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M，其实是 IM，也就是说，M中那组基的度量是在 I 坐标系中得出的。从这个视角来看，M×N也不是什么矩阵乘法了，而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M本身是在I坐标系中度量出来的。

回过头来说变换的问题。我刚才说，“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”我们找到了，就是那个向量。但是坐标系的变换呢？我怎么没看见？

请看：Ma = Ib

我现在要变M为I，怎么变？对了，再前面乘以个M-1，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有一个坐标系M吗，现在我让它乘以个M-1，变成I，这样一来的话，原来M坐标系中的a在I中一量，就得到b了。

怎么能够让“x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3”呢？

2 0

0 3

被矩阵：

1/2 0

0 1/3

下面我们得出一个重要的结论：

“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系…