五合一定理

数学与通识

编注：本文所述“毕氏定理”即“毕达哥拉斯定理”，也叫“勾股定理”，“毕氏逆定理”即“勾股定理的逆定理”。

本文我们要证明下列五个几何定理都是等价的：1. 毕氏定理; 2. 毕氏逆定理; 3. 三角形的余弦定律; 4. 圆内接四边形的余弦定律; 5. 托勒密定理。

笔者曾经看过学生这样论证：考虑三边为 3, 4, 5 的三角形, 因为 , 所以根据毕氏定理知, 此三角形为直角三角形, 并且边 5 所对应的角为直角。一般都会说, 这个论证有瑕疵, 因为并不是根据毕氏定理, 而是根据毕氏逆定理才对。但是, 若毕氏定理与毕氏逆定理等价, 则上述论证在逻辑上并不离谱。

由毕氏定理证明毕氏逆定理是欧氏《原本》的 I.48 (第 I 册的第 48 命题), 反过来由毕氏逆定理证明毕氏定理, 笔者未曾见过。其次, 由托勒密定理证明毕氏定理是显然的, 反过来由毕氏定理证明托勒密定理, 笔者也未曾见过。

在由毕氏定理证明托勒密定理的过程中, 我们用到了三角形的余弦定律与圆内接四边形的余弦定律, 后者笔者也未曾见过, 这些可能都是笔者孤陋寡闻。

本文是根据笔者对中学生演讲的讲义, 整理写成的。

一、毕氏定理(I.47)

假设为的三边。若 , 则。见图 1。

在图 2 中, 看呀！瞧呀！(Lo and Behold!) 就看出。这就是所谓的“无言的证明”(Proofs without words)。

毕氏定理堪称为“四最定理”：它的“证明”与“名称”最多, 它是“最美丽”的公式之一, 并且也是基础数学中“应用最广泛”的一个定理。

在文献上, Loomis 对毕氏定理收集有 370 种证法 (有趣的是鲨鱼约有 370 种), 一天证明一种, 一年都证不完。更稀奇的是, 世界吉尼斯记录毕氏定理有 520 种证法。

其次, 这个定理的名称至少有 10 种：毕氏定理, 商高定理, 陈子定理, 勾股定理, 百牛定理(The Hecatomb Proposition), 巴比伦定理, 三平方定理, 新娘坐椅定理(Theorem of the Bride's Chair, 因其图形好像是新娘的坐椅), 第 47 定理 (The 47 th Theorem), 木匠法则 (The Carpenters' Rule)。

毕氏定理除了证法与名称都是最多之外, 它在基础数学中占有核心的地位。我们简直可以用毕氏定理把一大半的基础数学连贯起来。毕氏定理是几何学的核心, “真理之路”(the way of truth)。

二、毕氏定理毕氏逆定理

毕氏逆定理：假设为的三边。若 , 则。

在图 3 中, 假设具有的关系, 我们要证明。过点向右作直线段并且 , 连结 , 令。根据毕氏定理, 我们有 , 所以 , 从而。由 SSS 的全等定理知 , 于是。

三、毕氏逆定理毕氏定理

在图 4 中, 假设 , 我们要证明。以点为圆心, 为半径作一圆弧；又以为圆心, 为半径作一圆弧。因为与 , 所以两圆弧会相交, 令其相交于 (还会有另一交点), 由建构知。又由毕氏逆定理知, 。因此 (SAS), 于是 , 从而。

问题：给两线段与 , 利用标尺作出线段与 , 再作出。

四、毕氏定理三角形的余弦定律

三角形的余弦定律(简称为余弦定律).

假设为的三个边, 则有

$\begin{aligned} & a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ 或~& \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\\ & b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\\ 或~& \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca},\\ &c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\\ 或~&\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. \end{aligned}$

考虑锐角与钝角三角形的情形。在图 5 的左图中, 由毕氏定理得到

$\begin{aligned} c^2&=h^2+\overline{DA}^2\\ &=(a^2-\overline{CD}^2)+(\overline {CA}-\overline{CD})^2\\ &=a^2-\overline{CD}^2+\overline{CA}^2-2\overline{CA}\times\overline{CD}+\overline{CD}^2\\ &=a^2+b^2-2b\times\overline{CD}\\ &=a^2+b^2-2b\times a \cos C\\ &=a^2+b^2-2ab\cos C \end{aligned}$

在右图中, 仍然是由毕氏定理得到

$\begin{aligned} c^2&=h^2+\overline{DA}^2\\ &=(a^2-\overline{CD}^2)+(\overline {CA}+\overline{CD})^2\\ &=a^2-\overline{CD}^2+\overline{CA}^2+2\overline{CA}\times\overline{CD}+\overline{CD}^2\\ &=a^2+b^2+2b\times\overline{CD}\\ &=a^2+b^2+2b\times a \cos (180^\circ -C)\\ &=a^2+b^2-2ab\cos C\end{aligned}$

另外两式同理可证。

余弦定律同时可以推导出毕氏定理与毕氏逆定理, 可以说是一箭双鵰。

问题：用放大镜看一个三角形, 角度不变, 为什么？试证明之。

五、三角形的余弦定律圆内接四边形的余弦定律

圆内接四边形的余弦定律.

假设为圆内接四边形的四个边, 则有

$\begin{aligned} \hbox{1.}\quad & b^2+c^2=d^2+a^2-2(bc+da)\cos A\\ 或~ &\cos A=\frac{d^2+a^2-b^2-c^2}{2(bc+da)},\\ \hbox{2.}\quad & c^2+d^2=a^2+b^2-2(cd+ab)\cos B\\ 或~&\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(cd+ab)},\\ \hbox{3.}\quad & d^2+a^2=b^2+c^2-2(da+bc)\cos C\\ 或~ &\cos C=\frac{b^2+c^2-d^2-a^2}{2(da+bc)},\\ \hbox{4.}\quad &a^2+b^2=c^2+d^2-2(ab+cd)\cos D\\ 或~&\cos D=\frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}$

在图 6 中, 因为 , 所以。对与使用余弦定律, 得到

$\begin{aligned} f^2&=a^2+b^2-2ab\cos B\\ &=a^2+b^2+2ab\cos D\\ &=c^2+d^2-2cd\cos D \end{aligned}$

所以

$\begin{aligned}\cos D&=\frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}\\ \cos B&=-\cos D=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(cd+ab)}\end{aligned}$

其余的两种情形同理可证。

注意：当时, 与重合, , 于是第 2 式变成 , 这恰是三角形的余弦定律。因此, 圆内接四边形的余弦定律是余弦定律的推广。

六、圆内接四边形的余弦定律托勒密定理

托勒密定理.

假设为圆内接四边形, 则两对角线乘积等于两双对边乘积之和, 见图 7, 亦即

$ef=ac+bd.$

在图 7 中, 由圆内接四边形的余弦定律

\begin{aligned} \cos D&=\frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}, \\ \cos B&=-\cos D=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} \end{aligned}

对使用余弦定律得到

$\begin{aligned} f^2&=c^2+d^2-2cd\cdot \cos D\\ &=c^2+d^2-2cd\cdot \frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2(ab+cd)}\\ &=\frac{(c^2+d^2)(ab+cd)-cd(c^2+d^2-a^2-b^2)}{ab+cd}\\ &=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd} \end{aligned}$

同理可得

$e^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}$

两式相乘得到

$e^2f^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}\cdot\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}=(ac+bd)^2$

从而

$ef=ac+bd$

七、托勒密定理毕氏定理

这是显然的！只要将圆内接四边形改成长方形, 由托勒密定理立即就得到毕氏定理, 故毕氏定理是托勒密定理的特例,托勒密定理是毕氏定理的推广。

顺便谈一下由毕氏定理看出托勒密定理的一种发现理路。

由一个直角三角形, 作出另一个相同的直角三角形, 合成一个长方形, 再做一个外接圆。毕氏定理的 (直角三角形), 两元化为 (长方形),解释为长方形两个对角线乘积等于两双对边乘积之和。再把长方形改为任意圆内接四边形, 仍然有两个对角线乘积等于两双对边乘积之和, 就是托勒密定理。见图 8。

托勒密定理的证明：在图 9 中, 过点作使得。因为 , 所以。于是

$\frac ed=\frac b{\overline{PD}}\quad \hbox{或}\quad e\cdot \overline{PD}=bd.$

同理可知 , 因此

$\frac ae=\frac {\overline{BP}}c\quad \hbox{或}\quad e\cdot \overline{BP}=ac$

两式相加就得到。

托勒密定理是许多三角恒等式的根源, 例如它可以推导出和差角公式、正弦定律与余弦定律。托勒密利用这些结果来制作弦表(相当于正弦函数的数值表)。

底下我们用托勒密定理推导出余弦定律：

如图 10, 考虑 , 将它翻转 180 度, 使得底边仍然重迭在一起, 得到 , 则四点共圆, 令。因为 , 由托勒密定理得到

$\begin{aligned}c^2&=bd+a^2=b(b-2a\cos C)+a^2\\ &=a^2+b^2-2ab\cos C\end{aligned}$

八、结语

总结上述, 我们有如下的逻辑网络 (logical net)：

这个逻辑网络还可以继续再扩展出去, 把许多重要的几何定理连都结起来, 其中毕氏定理是天地的中心。

还有一条逻辑的小径：

托勒密定理三角形的余弦定律毕氏定理。

毕氏定理展现着简洁, 历久弥新, 可以不断生长与加深拓广。下面三式被公认为是重要且美丽的公式：

平面几何学的毕氏公式： .
微积分的欧拉 (Euler) 公式： .
物理学的爱因斯坦质能互变公式：.

毕氏定理与圆都属于二次的世界, 前者掌握住最基本的长度与距离概念与计算, 从而也有了圆的方程式 , 这根本就是毕氏定理的化身！

圆最完美与对称, 等速率圆周运动与毕氏定理更是周期运动与整个三角学的出发点。

参考文献

Euclid. The Elements I. Translated by Sir Thomas L. Heath. Dover, 1956.
Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition. 19683. Elia Maor and Eugen Jost, Beautiful Geometry. Princeton University Press, 2014.

来源：好玩的数学，以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！

END

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