编注:本文所述“毕氏定理”即“毕达哥拉斯定理”,也叫“勾股定理”,“毕氏逆定理”即“勾股定理的逆定理”。
本文我们要证明下列五个几何定理都是等价的:1. 毕氏定理; 2. 毕氏逆定理; 3. 三角形的余弦定律; 4. 圆内接四边形的余弦定律; 5. 托勒密定理。
笔者曾经看过学生这样论证:考虑三边为 3, 4, 5 的三角形, 因为
由毕氏定理证明毕氏逆定理是欧氏《原本》的 I.48 (第 I 册的第 48 命题), 反过来由毕氏逆定理证明毕氏定理, 笔者未曾见过。其次, 由托勒密定理证明毕氏定理是显然的, 反过来由毕氏定理证明托勒密定理, 笔者也未曾见过。
在由毕氏定理证明托勒密定理的过程中, 我们用到了三角形的余弦定律与圆内接四边形的余弦定律, 后者笔者也未曾见过, 这些可能都是笔者孤陋寡闻。
本文是根据笔者对中学生演讲的讲义, 整理写成的。
假设
在图 2 中, 看呀!瞧呀!(Lo and Behold!) 就看出
毕氏定理堪称为“四最定理”:它的“证明”与“名称”最多, 它是“最美丽”的公式之一, 并且也是基础数学中“应用最广泛”的一个定理。
在文献上, Loomis 对毕氏定理收集有 370 种证法 (有趣的是鲨鱼约有 370 种), 一天证明一种, 一年都证不完。更稀奇的是, 世界吉尼斯记录毕氏定理有 520 种证法。
其次, 这个定理的名称至少有 10 种:毕氏定理, 商高定理, 陈子定理, 勾股定理, 百牛定理(The Hecatomb Proposition), 巴比伦定理, 三平方定理, 新娘坐椅定理(Theorem of the Bride's Chair, 因其图形好像是新娘的坐椅), 第 47 定理 (The 47 th Theorem), 木匠法则 (The Carpenters' Rule)。
毕氏定理除了证法与名称都是最多之外, 它在基础数学中占有核心的地位。我们简直可以用毕氏定理把一大半的基础数学连贯起来。毕氏定理是几何学的核心, “真理之路”(the way of truth)。
毕氏逆定理:假设
在图 3 中, 假设
在图 4 中, 假设
问题:给两线段
三角形的余弦定律(简称为余弦定律).
假设
考虑锐角与钝角三角形的情形。在图 5 的左图中, 由毕氏定理得到
在右图中, 仍然是由毕氏定理得到
另外两式同理可证。
余弦定律同时可以推导出毕氏定理与毕氏逆定理, 可以说是一箭双鵰。
问题:用放大镜看一个三角形, 角度不变, 为什么?试证明之。
圆内接四边形的余弦定律.
假设
在图 6 中, 因为
所以
其余的两种情形同理可证。
注意:当
托勒密定理.
假设
在图 7 中, 由圆内接四边形的余弦定律
对
同理可得
两式相乘得到
从而
这是显然的!只要将圆内接四边形改成长方形, 由托勒密定理立即就得到毕氏定理, 故毕氏定理是托勒密定理的特例,托勒密定理是毕氏定理的推广。
顺便谈一下由毕氏定理看出托勒密定理的一种发现理路。
由一个直角三角形, 作出另一个相同的直角三角形, 合成一个长方形, 再做一个外接圆。毕氏定理的
托勒密定理的证明:在图 9 中, 过
同理可知
两式相加就得到
托勒密定理是许多三角恒等式的根源, 例如它可以推导出和差角公式、正弦定律与余弦定律。托勒密利用这些结果来制作弦表(相当于正弦函数的数值表)。
底下我们用托勒密定理推导出余弦定律:
如图 10, 考虑
总结上述, 我们有如下的逻辑网络 (logical net):
还有一条逻辑的小径:
托勒密定理
毕氏定理展现着简洁, 历久弥新, 可以不断生长与加深拓广。下面三式被公认为是重要且美丽的公式:
平面几何学的毕氏公式:
微积分的欧拉 (Euler) 公式:
物理学的爱因斯坦质能互变公式:
毕氏定理与圆都属于二次的世界, 前者掌握住最基本的长度与距离概念与计算, 从而也有了圆的方程式 , 这根本就是毕氏定理的化身!
圆最完美与对称, 等速率圆周运动与毕氏定理更是周期运动与整个三角学的出发点。
来源:好玩的数学,以上文章观点仅代表文章作者,仅供参考,以抛砖引玉!
END
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