孤立子与可积系统前沿理论讲习班 —— 可积系统的代数曲线方法

在本期系列课程中，我们将系统讲授可积系统的代数曲线方法，内容主要介绍代数曲线基础知识，包括代数曲线的基本性质、紧致Riemann面、Riemann-Hurwitz公式、Baker-Akhiezer函数、三类Abelian微分、所诱导的Riemann theta函数的构造等。此外，课程将讲授代数曲线理论在可积系统中的应用，探讨可积系统诱导的三角曲线的性质，计算Baker-Akhiezer函数和亚纯函数的因子，介绍Abel映射和Abel-Jacobi坐标拉直对应的流，系统给出与3×3矩阵谱问题相联系的可积非线性演化方程的代数几何拟周期解。针对三角曲线的不同情形，详细讲解求解方法和过程。本期讲习班活动分为六次课程（每次两个小时）和一个前沿学术讲座。

前沿讲座摘要：The theory of tetragonal curves is established and applied to the study of algebro-geometric quasi-periodic solutions of discrete soliton equations. Using the zero-curvature equation and the discrete Lenard equation, we derive the hierarchy of Bogoyavlensky lattice 2(3) equations associated with a discrete 4×4 matrix spectral problem. Resorting to the characteristic polynomial of the Lax matrix of this hierarchy, we introduce a tetragonal curve and associated Riemann theta functions and explore the algebro-geometric properties of Baker–Akhiezer functions and a class of meromorphic functions on the tetragonal curve. The straightening out of various flows is precisely given through the Abel map and Abelian differentials. We finally obtain algebro-geometric quasi-periodic solutions of the entire hierarchy of Bogoyavlensky lattice 2(3) equations.

耿献国，郑州大学数学与统计学院二级教授、博士生导师，郑州大学特聘教授，国务院政府特殊津贴专家，全国百篇优秀博士学位论文指导教师。主要从事可积系统方向的研究，在Commun. Math. Phys.、Trans. Amer. Math. Soc.、Adv. Math.、J. Nonlinear Sci.、SIAM J. Math. Anal.、Int. Math. Res. Not. IMRN、Nonlinearity、J. Differential Equations等重要国际学术刊物上发表了一系列高质量的研究论文。主持2项国家自然科学基金重点项目和多项国家自然科学基金面上项目，承担国家重点基础性研究发展规划（973规划）子项目等。耿献国教授是国家天元数学中部中心学术委员会委员和多个学术期刊的编委，获河南省科技进步二等奖，所带领的研究团队被评为河南省可积系统及应用研究创新型科技团队。