（接上篇）

普通电磁学的数学问题

法拉第给我们带来了很多很多的成就，但是他感慨说我不懂数学。我们会说，如果法拉第要是懂数学，他得把数学推进到什么样子。但是这话如果遇到杠精了，杠精就会跟你杠，他说法拉第如果会数学，他说不定一辈子就是大学物理系教数学的。可是法拉第会不会数学不重要，但是电磁学到这一步，电磁学本身需要数学，没有数学，电磁学往下走不动了。

这时候电磁学就出来了创造数学的人。我们看电磁学里的量，电磁学里首先的量，我们会说量分成标量、矢量和高阶张量。那么粒子有哪些标签？有质量，有电荷，有什么自旋，电磁场的几个量我们都已经说过了。还有一些我们运动学的，比方位移、速度、加速度、力都叫矢量，还有微分算符，这几个微分算符怎么念我们待会再说。

如果大家能够用数学的眼光观看这里面的量，能够理解它们的关系，你的物理就好学。我们先看质量这种标量，这种标量是什么性质？它是可以加的。加一定大于或者。电荷也是标量，但是电荷是极性标量，电荷就没有加一定大于或者的说法。这就是为什么虽然牛顿万有引力和电荷的库仑引力公式是一模一样的，但是电荷的世界就要比引力的世界复杂得多。比方说加速运动的电荷就会发射电磁波。加速运动的质量还真不见得发射引力波，那个数学可能还真不一定对。

关于自旋我们一般人根本弄不明白。自旋要用的数学叫自旋代数、自旋群等，我们一般物理系的研究生大概很少有学自旋的数学的。这是为什么我们读原子物理的时候都老读不懂的原因，因为那里面用来给你介绍原子物理自旋性质的数学，它用的都是不对的。

关于电荷、质量，电荷这种是叫标量，速度、位移叫矢量，大家觉得好理解了，标量就是1+2、2+3的东西，不言自明。矢量就是既有大小又有方向的量。标量和矢量可以有什么加法，可以有乘法，我们大家都觉得很会，可是大家想象一下，加法和乘法我们真会吗？我举个简单例子。比方2米加3米等于5米大家都一定会，可是复数z=a + ib里的这个加法是什么意思？你会发现我们许多书不教这个加法是什么意思。这个加法是扩展的意思。再看乘法，2米乘3米等于6平方米，23米等于6米，这个2和前面的2是一回事吗？这个2是算符，是加倍的意思，是double的意思。还有乘法3米乘2也等于6米，这两个乘法是什么关系？你会发现这些东西，如果我们上小学二年级的时候，老师但凡给我们提一句，注意到这里面有问题，将来我们学量子力学，学算符作用到波函数右矢量和共轭算符作用到左矢量上面，我们见到这个东西就不会太惊讶。当年我上小学的时候，没有老师告诉我们的乘法和加法有什么问题，所以当我学量子力学时候，看到这些东西我就晕菜。加法、乘法不是那么容易的。

为此，电磁学就需要有人给我们去发展数学，这就是一个叫哈密顿的人，在1843年10月16号下午给我们发明了四元数，关于四元数去年的报告我已经讲了，所以关于相关的内容请大家复习去年的讲座（曹则贤：从一元二次方程到规范场论 | 中国科学院2022跨年科学演讲）。

我再简单说一下，四元数的引入是为了能够描述三维空间的转动，给我们描述电磁学、流体力学中旋转、旋度的数学。

有了四元数才能描述三维空间里面的转动，但是四元数a加上3个虚部，加法、乘法的表示有点散，有人就说我引入简单记号，说把实部就叫做标量，而把这三个虚部加在一起，这个东西叫做矢量，这才是vector的一个意义。做四元数正常的乘法就会发现，在乘法结果的实部里面出现了两个矢量的点乘的问题，在矢量部分出现了两个矢量叉乘的问题，这就是矢量的点乘和叉乘引入的地方，这是四元数里的东西。请记住，两个矢量的乘法不是有点乘和叉乘，而是必须同时有点乘和叉乘，请大家记住，同时，同时，同时，不是可以分隔的。是谁把它分隔了？是一位统计物理的大家，一个叫吉布斯的人，强行要把点乘和叉乘分开了，结果就造成后世的物理书里面，当我们学这个部分的时候，点乘和叉乘是分开的。

Vector本身是什么意思？vector本身字面意思是载，是挪动的意思。它是什么样的一个意思？你看，我们都说从A点到B点，画成这样箭头AB这叫矢量，这就是矢量，它具有挪和载的功能，因为这个矢量AB就等于点B减去A。所以矢量作用到A点上的时候，就相当于把A点挪到了B点，这就是矢量的意义.矢量是可以用来挪的，这就是矢量本身的定义。矢量不需要有大小，也不需要有方向。矢量可以有大小，有方向，但是你要想让一个矢量有大小和方向，你必须要引入新的算法。所以请大家记住，矢量不是什么既有大小又有方向的量，矢量就是vector，它是个很重要的东西。

这个方面的数学最重要的就是所谓的叉乘，其实叉乘大家就按照四元数直接乘就完了，就是，再加上，它俩之间乘就行了。你只要保证ij等于-ji这个东西是反对称就行了。当然，你可以把矢量叉乘写成矩阵乘上列矩阵的形式，直接当矩阵乘法。这就告诉我们,在我谈论两个矢量乘法的时候，天然的里面有反对称的东西。如果你懂数学，就知道这里面一定存在着雅可比恒等式。所以大家明白了以后，如果你数学学得足够多，学这些物理就简单，就是这个道理。我不能给大家讲那么多了。

在1846年的时候，矢量这个东西，哈密顿引入了一个特殊的矢量，特殊的矢量就是ijk矢量，但是它的每一个的前面的分量是一个微分算符，矢量的点乘得出来叫拉普拉斯算符，就是我们数学物理老遇到的del和拉普拉斯算符。这个算符名字是什么？你会发现是一个叫斯密斯的人给起的名字，用的是希腊语竖琴Nabla，希腊语叫ναβλᾰ，是用竖琴来表示这个字符。这个字符反正至少是我个人当初学这个东西的时候，是非常非常头疼的。可是当我有一天，我知道它竟然有这么美丽的一个名字，是希腊语的竖琴。我就去专门拍了这样的一段视频，让我们大家好好感受一下它有多么美妙。我希望大家在学这个时候就不要太为难了。有了算符以后，英国著名的数学物理学家Heaviside明确告诉我们，数学物理大致说了不过就是关于算符的数学，请大家记住，你所学的数学物理大体上就是关于算符的数学。现在大家既然已经知道了算符这么美妙，所以请大家不要再去害怕数学物理了。

我们在大学数学物理方法或数学物理方程的时候，之所以那么困难，它的一个要命的问题是在于教课的人不懂物理.他教这门课的时候，他永远不知道在写这个东西时候的物理是什么，它要干什么。所以我们学起来就比较困难。

好，∇算符作用到一个矢量上的时候就有所谓的点乘和叉乘问题，但是大家学这个时候我不知道你困惑没有，这是个矢量，矢量和矢量点乘的时候变成标量了，这个公式能理解，可是这个东西∇是矢量，那个东西也是矢量，它怎么和矢量叉乘以后还是矢量的？大家刚开始遇到这个公式时候觉得怪异了吗？你会发现，虽然这个地方的A和B都叫所谓的矢量，你会发现当进行坐标反演的时候，这个矢量A会变成负A，而所谓的矢量B会本身保持不变，也就是当我们谈这个公式的时候，B等于的时候，A是矢量，B也是矢量，但它们俩不是一种矢量。就不应该看作同样的矢量。

这里面说明什么？说明这里有数学咱没有学，这个数学是什么呢？就是如果我们把∇当做一个矢量的时候，我们会发现我们的标量、矢量和张量可以把它加一个标签，相当于小学生加上他的年级，也就是标量是零年级，矢量是一年级的，比方二阶张量就是二年级的。当矢量核和多矢量相作用的时候，等于点乘和叉乘，点乘这一部分应该是降一年级的，叉乘这一部分应该是加一年级的。所以我的两个矢量点乘的时候，这个地方就变成标量，两个矢量外积或者叉乘的时候，它应该是对应了一个二年级的量，但是非常有趣的，二年级的量为什么被当成一年级的量了？如果一年级的量(矢量)是线，二年级量是面，可是我们碰巧生活的是三维空间，三维空间的面是可以用面的法向这个线来表示的，这就有把这样的一个外积给它表示成对偶的、表示成叉乘的原因，也就有了非常含糊的为什么del叉乘A也是矢量的原因。

既然这个东西作用到一个量上面，分两部分，一部分是降一年级，一部分是升一年级。可是当我作用到标量上的时候，标量本身就0年级，我没地方降了，所以它就只剩一个升一年级的东西，把它升成了一年级，变成矢量。这个东西叫梯度.所以请大家记住，没有什么散度、旋度、梯度三个的说法，其实就是这两个,散度和旋度这个东西，或者说∇的算法就是内积和外积。而这个地方，关于标量的梯度是外积，内积没有。

当初我学电动力学的时候，始终有人老教我去背什么梯度、散度、旋度，好像以为有三个东西似的，不是，只有一个东西叫几何积。几何积分两部分，内积和外积，当内积、外积遭遇到标量的时候，即0年级对象的时候，只有一种，这就是所谓的梯度。知道这些东西，我们的电动力学可能就好学了。我一定要强调一下，大家在学这些东西的时候，如果你从来没感到过困惑，很轻松的考了99分，100分，我只能说你可能真是没学会。真正学的时候，因为总是有很多的内容我们不知道，或者我们的教科书，或者教的老师不清楚，因此我们会感到困惑。即使我们的书也好，我们的老师也好，因为我们个人本身的知识储备还不够，我们也一样会感到困惑。如果你从来没感到过困惑，可能就不对了。

既然两个矢量的乘法一定是有同时有内积和外积，大家现在返回来看我们的物理学，你会发现物理学一直都在无意识地同时有内积和外积。比方位移矢量r和力的关系，它就有内积做功，外积对应转矩；位移矢量和动量它们俩的关系一直有内积和外积，外积就是所谓的角动量，内积是virial，后者是人家去推导所谓的什么暗物质的出发点。当你学电磁场的时候，电场强度 E 和电极化 P它们俩的关系始终也有内积和外积，内积就是势能，外积就是转动角动量。所以为什么我们学这些东西困惑？因为它把一个有机的整体给你分两半，好像它们俩谁也不跟谁有相关的时候，所以你就始终困惑，当年我学转动的时候，你看它光说叫转动，转动过程不做功吗？对不对？所以一定是应该同时有这样的计算才对。

现在我们有了磁矢势以后，我把矢量B表示成磁矢势的旋度，把电场量表示成电势场的梯度加上这么一项，就有了两套东西来描述我们的电磁学。一个是E矢量加上B矢量，一个是用静电势和3个磁矢量势。大家肯定觉得好奇怪，为什么这两套描述是等价的，可这个东西是4个分量，而这个东西是6个分量的，它们怎么可能等价起来？为什么能等价起来你？因为这个东西是描述四维空间的，是4个分量，但这四维空间里面的面的法向正好是6个分量，也就是这个东西是四维空间里面的法向，所以它们内在是有一致的地方。

到了1860年前后的时候，电磁学就得到了充分的发展，有了这四个定律，高斯定律、高斯磁定律、法拉第的感应定律和安培环路定理，就表达成这个样子。这个D是1864年麦克斯韦引入的，叫电位移，我再强调一遍，电位移不需要用它和电介质怎么被电极化的来理解，电位移就是该有的一个东西。

既然是个电现象，自然还要加上电荷的连续性方程。我就提醒大家一句了，物理量怎么等于0是个非常重要的东西。D等于0就是我们导体的定义，里面D等于0的东西这叫导体，B必须等于0的这就是超导体。χ等于0的东西叫真空。我们的电磁学最伟大的地方就是先有麦克斯韦，后有赫兹，认识到真空对于力学来说可能是没有多大意义的，对于电磁学来说真空也是电介质，请大家记住，这是电磁学最伟大的一个认识。从前认为没有的真空叫电介质，它的特点是χ等于0。超导是B等于0，这就所谓的麦斯纳效应。

关于电介质的这些东西，我就不给大家细讲了，我只提醒大家一句，简单的把这样一个电介质，用一个相对介电常数来表示，实际上本身是有问题的。我们大家注意到，比方真空里的两个电荷，库伦力是这样表达的，这两个电荷之间如果有一块地方是放了一块电介质，请问该怎么表达它们之间相互作用力？你会发现你没办法的。第一种方案说电介质你用的是什么？你用相对介电常数。当这种情形的时候，你只能用第二种方案。第二种方案是什么？假设所有电荷都是自由的电荷，我来算在电荷q上面作用力等于多少？这个地方由这一堆正负电荷来算它的电动势。但是你会发现很奇怪，对于给定的电荷分布不同的物质，介电常数反而是不一样子，所以这个东西都对不上。所以大家千万不要以为这个地方随便加上相对介电常数这个公式就是对的，其实它有问题。

正确的东西是什么？正确的这个东西应该用电位移和介质的对电场的响应来理解。对于一个平行两块金属所划定中间的区域，你会发现可能给我们一些提示。电位移第一该是什么？是两块无穷大的金属里面控制的地方D，不管这里面有多少电介质？不管电介质长什么样的，D等于常数，这是这个东西的一个特别特殊的地方。

这些东西没法跟大家细讲，像这样的一些本构方程其实都有问题的。为什么？因为这个东西磁矩其实很难算的，而且一块物体的磁矩竟然还和它的形状有关系。如果我们学普通电磁学的时候，遇到公式含含糊糊也就过去了，但真给你一块电介质，真给你一块磁体，去倒腾关系的时候，你会发现是很难的。不管这些东西，你现在只记住描述电磁介质需要E、D和H、B这4个物理量就行了，并且E和H是类强度量，D和B是类广延量就行了。关于这个东西对不对，你看到2015年还有论文在讨论，给大家讨论这里面错在哪。我是80年代的时候开始学的，到二零一几年的时候才有人告诉我这里面是有错的。

电动力学

好了，现在不管了，到麦克斯韦的时候，我们电动力学有这么样一些东西，有一个舞台，这个舞台就是时间加空间。有角色，就是电，电运动起来有电流要有连续性方程，电表现出什么？电表现出势，电势和磁矢量势。你要表达因果律什么，有微分算子 del。

现在有这样一个东西，请大家把它们揉在一起，看能糅合出一个什么样的学问出来，这就是电动力学，这时候出来一个麦克斯韦的人，这个人特了不起，他给我们引入了电磁场的概念。在他去世的时候，给我们留下这样的两卷本经典，就是《论电和磁》。这两本书里面他给我们带来什么？

我们看麦克斯韦干出了什么伟大的事情。现在有这4个方程，∇∙D=ρ，∇∙B=0，这是法拉第感应定理，这是安培定理。麦克斯韦发现说这个不对，为什么？因为大家看∇×H，这一项加上Del点乘等于0，这边就是∇∙j等于0，但是不对。对于电荷连续性方程，，这个安培定理的方程不对。这4个定律，都是因果律，一项引起另外一项，别人怎么就没看出来，但是麦克斯韦就能说这个方程不对，缺东西，缺什么东西？你得把连续性方程补齐了，所以这第四个安培环路定理，他把这一项给加进去，D对时间的微分，∂D/∂t这一项就叫位移电流。如果叫位移电流，你看连杨振宁先生都觉得困惑。但是请大家记住，在原始文献里，关于位移电流还有一个叫法，叫convection current，就是被携带的电流，这个时候你突然就明白了它这个流就相当于什么，像在水面上流过的树叶子，流过的树叶子不是树叶运动造成的流，是水流带动引起的树叶子的流。明白这个道理的时候，你就知道这个地方位移电流是什么意思了。这说明什么？说明麦克斯韦真是会玩方程的，看这个方程就知道这地方缺一项，他加上这一条。

麦克斯韦会玩方程，不是到后来才会的。麦克斯韦13岁就会玩方程了。当年有一个艺术家要在墙上画所谓的什么椭圆的、要画鸡蛋的时候，这个13岁的小孩说，如果我们知道这鸡蛋的方程，我们就好画了。于是，麦克斯韦在13岁的时候就从椭圆的定义构造出了鸡蛋的方程。他会玩方程。他的传统后来被狄拉克继承了，所以读麦克斯韦和狄拉克的书给我最大的一个感慨就是，请大家记住，方程不光是用来解的，方程是用来玩的，你要从方程里玩出东西来。

现在这个东西就叫麦克斯韦方程组了，如果是在真空里，它是这样的一个，用E、B就行了。如果是带介质的，这个地方要用D、B、E和H这四个量。不管怎么样，现在我们有一套这个东西，这个东西叫麦克斯韦方程组。但是，麦克斯韦思维方程组考虑到用的单位制不同，考虑不考虑介质和源的问题，以及一些项到底放等号的哪侧的问题，是用积分表示还用微分表示的问题，使用不同数学语言的问题，还有这些量放置顺序的不同的问题，还有关于这些物理量的角色，以及它们之间的关联不同的问题，各种书里面你就能够见到千奇百怪的麦克斯韦方程组，这给我们学麦克斯韦思维方程组带来了极大的困难。

我2023年要做的一件事情，就是把麦克斯韦方程组梳理清楚，大体上估计也得写200页——麦克斯韦方程组的各种各样的样子太多了。当然，我们如果用时空几何写的话就没有麦克斯韦方程组了，只有这一个麦克斯韦方程，待会我们看这一个方程有多神奇。

光有麦克斯韦方程组不够。有人说麦克斯韦方程组还要配一个公式，这个公式就是洛仑兹力。洛仑兹力从哪来呢？静电场里面，一个电荷受到的力是qE，电流在磁场里面受的力是电流乘上在磁场里面切割磁力线的长度，还乘上磁场B。等到电荷面对磁场的时候，有一个力是qv×B。把这些东西写到一起，就有所谓洛伦兹力。可是你会发现我们许多书里面根本不告诉我们这个公式从哪来的，这个公式实际上又是汤姆逊研究电磁场里面电荷的转动角速度，才得来这个公式。这个公式拼到一起的时候，q(E+v×B)，它们俩之间加的符号不是真正的加号，是组合，是拼接，是扩展。也就是说这个东西一个是表示做功的东西，那个东西是表示角动量的东西。又是刚才我说的，始终是有一个内积和外积结合的一个东西。这个东西不是简单的算术加，也不是矢量加号。就是知道洛仑兹力这个力，很容易就做出很多技术上的进步和科学上的进步。技术上的进步电磁弹射刚才已经说了。电磁弹射要求这个地方电流要到兆安，安培。有时候还觉得不够，这个地方要用大电容器简单充电，而弹兜，装炮弹的地方电流还嫌不够，这个地方会加上个等离子体，让它产生大电流。我不给大家细讲了。在磁场下面我们会看电荷分正负的时候，在磁场下同时产生的电荷相反的东西就会一个向左转，一个向右转。这一个图就是正电子被发现的图。所以你看这个东西带来了多么重要的认识。

现在有了麦克斯韦方程组，有了电荷连续性方程，加上洛伦兹力，就有了我们的电磁学的整体框架。我们一般学电动力学，到这步的时候，我们说关于电动力学的理论，我们齐了。

可是往下有很多的发展，从这个方程很容易倒腾出来的一个重要的东西，除了有规范的时候还有波，刚才是麦克斯韦方程组是一阶微分方程，你给它往下引导成二阶微分方程的时候，这个地方就是波动方程。因为它是用电磁势表达的时候，有一个自由度，规范自由度，所以我可以自由选择规范，可以选择这一项等于0，这叫洛仑兹规范。剩下的就是得出这样的方程是有源场的方程，这个方程就是三维空间弦振动的方程。洛仑兹规范这个事情，请大家记住，这不是荷兰人洛仑兹 （Lorentz），这是个丹麦人洛仑兹 (Lorenz)，这是一般电磁学的书里面都会写错的地方，请大家记住。

现在有波了。看似是波，波动方程就有一个波的速度的问题。根据当时的数据计算出对应波的速度，差不多是每秒钟27万公里，和当时测到的光速差不多。于是这让麦克斯韦怀疑光难道是电磁波？这是一件事。第二件事，当我们谈论速度的时候我们总是有参照系的，是相对于什么的速度，可是这个地方我得出来这个速度是由两个常数计算出来的，这个地方根本就没有参照系的事情。也就是如果这一套理论是对的，这个东西是产生电磁波，电磁波的速度是没有参照系的。就像第一富豪似的，相对于谁我都是最有钱的，电磁波是说相对于谁我都是这个速度，这就是后来引起的相对论。当我们学相对论的时候，有人不教我们这个东西。所以，给你讲光速相对于谁都是那个速度，什么光速不变，在那扯半天，你脑袋就发晕。可是从这个方程里面，当我们看到光速是被从这两个常数，而且这两个常数过去历史上还是分别在不同情景下引出来的，竟然是从两个常数计算而来的，根本就没有你加入参照系的地方，你可能从心理上就容易接受了光相对于谁的速度都是那个数。这时候你可能也就会相信了，光速可能不是速度，或者不是你一般理解的庸俗的速度。这就有了相对论。

刚才的方程是什么东西，如果不看这一项，这就是泊松方程，只是我在这个地方又加入了对时间的微分算符。对时间加入微分算符的事情，其实不光是英国的麦克斯韦在干。在欧洲大陆上这位数学家黎曼在1867年的论文里，直接就在泊松方程里面加上这一项，就得到了波动方程了。黎曼为什么加这样一项，不知道。但是黎曼还贸然干了一件事情。黎曼在1859年的一篇论文里面的第一句竟然冒出来一个“量子”的概念，Quantel，几何的东西有最小的量子，后来发展出量子力学，后来就发展出几何量子化，发现量子力学是个几何问题，有几何量子化问题。这个人实在是让人觉得非常神奇，一个学文科的人，就是因为在学校里遇着好老师，高斯高老师说你适合学数学。一家伙就给杵到柏林大学，三年回来高斯高老师带他又得了博士学位，25岁开始研究数学，40岁去世，满打满算，干了15年的数学。有一句评价说他在这15年里做的数学占人类在19世纪所产生的数学的一半，所以你看这个人有多厉害。

怎么评价他？高老师高斯评价自己的工作是Pauca sed matura，少但是成熟。我觉得黎曼这两个工作是“没道理但正确”，你也不知道他这个道理到底在哪，但是他正确。所以黎曼这个人实在是太了不起了。就像刚才那个黎曼Zita函数的值似的，1+2+3+4……=-1/12，很难理解，但是正确。

黎曼也好，麦克斯韦方程，时光已经到了1870年前后。这个时候终于大家认识到了电磁学不是流体力学，也不是固体力学。请记住，刚才那个电位移是从固体力学引来的概念，就是一块固体当被拧巴的时候，每一点都有位移，是类比的概念有了电位移的概念，但是类比重要不重要？到1870年代的时候，大家终于认识了电磁学不是流体力学，也不是固体力学。电磁学是电磁学，电磁学很特殊。在电磁学里面，真空是介质，所以这个很酷。

这时候，在德国柏林科学院就有人悬赏研究刚才的公式，电介质切割磁力线会产生电极化这件事情。赫兹要做什么？赫兹就要证明这一个位移电流，真空里的位移电流能够产生电磁波。大家想想，真空里位移电流产生磁场，不就是电磁波的传播吗？但是实际的实验里赫兹要玩的是什么？

开路的。开路那个地方才有真空电介质的问题，所以他现在玩真开路电流的实验的问题，这就是我们的赫兹老师在实验室里的这个装置，这个地方不是平行板电容器，这是两个金属球，这是开路，这个实验出什么结果？实验得出这样的结果。这个地方你如果是有一个开关在这地方给电路一开一关的时候，这两个金属球之间会打火，这两个金属球打火的时候，你会发现旁边这个地方有一个金属丝连接的两个金属球，前面这个地方打火的时候，有时这两个球之间也打火。可是这一个东西和这边电路是不连着的，这说明什么？这说明从这边电路里面有什么东西飞出来了，飞出来的东西可能就是电磁波，这就是赫兹的定义。但是赫兹大家看，赫兹只活了37岁就去世了，是被称为天都嫉妒的人。他最大的贡献实际上是对力学的贡献，请大家记住，是他把力这个词从物理学里面彻底地踢出来了。请大家千万不要再去炫耀什么四大力学，当你说我学过四大力学，你可能有哪点有误解。不是电动-力学，是电-动力学，没有热力学，是热-动力学或者热功学。

我们看赫兹的这一套装置带来了什么。赫兹这个装置有一个很重要的给电容器充放电的这个东西，这个地方充放电，这个地方就打火花，这个地方可能被接收到，这就是后来电报的原型。发电报人一按，嘀嘀嘀嘀嘀嗒嗒，其实这地方的就是开关，给电容器充电放电，这是用来产生电磁波的东西。

还有这个地方打不打火花的问题。你会发现这个地方打火花。这个地方有时候打火花，有时候不打火花，打火花很弱。你就想该怎么观察？就想在暗地方观察，就想让它不受环境影响。所以这个地方有人会在上面加个玻璃罩子观察。加玻璃罩子发现有意思了，发现加有些玻璃的时候根本就没有打火，但是加石英玻璃的时候，这个地方会容易打火花。这个东西就引起了什么，引起了对著名的光电效应的注意。对光电效应后来的解释让爱因斯坦得了诺贝尔奖。

有了无线电报，我们就会注意到，对于电磁学最重要的一个东西就是设计天线。设计天线就是设计这一个磁矢势，从磁矢势就能计算出电场E、磁场H，磁场和电场的叉乘就是坡印廷矢量，你就能算出来无线电发到哪个方向去了。所以请大家记住，无线电技术到这个地方的关键就是一条，就是怎么设计天线。

请大家记住，我们物理所现在还有老师在做天线，可能你们不知道，怎么做天线这个事情就是无线电的一个非常重要的研究方向。关于天线，你会发现有各种各样稀奇古怪的天线，我敢说每一个频率段上的无线电波的天线设计，都趁得上一个专门的研究所。现在我们有的小的机器人，像小鸟一样的机器人，或者比小鸟更小的昆虫一样机器人，它上面的接收天线，大家想想能有多大。那么大的天线有多大呢？我可以负责任告诉你，大的天线有天线长度百公里级的，你们相信吗？我们国家有，具体在哪我就不跟你们说了，我们有。你能想象天线的长度是百公里长吗？

电磁辐射，到这时候我们突然发现，既然电磁波是光，会不会说那就有光学了？光学是不是就可以当电磁学来研究？不行，光虽然都叫电磁波，但是从百赫兹、千赫兹算起到伽马射线，对于这个广谱的电磁波，有一种说法，在每一个频率上的光都有特殊的光学。你会发现光的产生机理是不一样的。刚才我们的电磁学里面天线用的是电荷加速发光，燃烧或者半导体发光那是电子从高能级向低能级的跃迁机制发光，核物里面有切伦科夫辐射(Эффект Вавилова–Черенкова)，这是说当电荷在介质中的速度超过介质中的光速的时候，它匀速运动也会发光，而不是加速运动。当物质湮灭的时候，正电子和电子湮灭的时候，它也会发射光，核过程也伴随发射出光辐射。

既然从电磁作用、强相互作用和弱相互作用都有光出来，反过来是不是就提醒我们电磁相互作用、强相互作用和弱相互作用是可以统一的，因为它们都能发光，光都是一样的东西。所以你看这个地方，它会暗示我们强、电磁、弱这三种相互作用是可以统一的。

这是1934年切伦科夫在重水里面发现重水老是发蓝。蓝色从哪来？又没有光照明。如果它始终是偏蓝，因为我们能看到的就是最短的光的蓝，说明源头的发光可能比蓝光还短。这个东西从哪来？它只能从核反应里面来。

1934年切伦科夫注意到这个现象，到1937年一个叫塔姆的人就给出了理论推导。理论推导就是一个加速电荷，它推导的时候用的是加速电荷路上怎么损失的问题。但是这里面有一项很有意思，是，你会发现当λ是个纯虚数的时候，这一项就等于1，等于1就是没有衰减，意思就可以跑到无穷远，这就能够解释它怎么往外发射了。但是这个地方的要求的条件是什么？要求的条件就是粒子的速度要大于这一个介质里面光的速度。也就是说这个现象要出现在一个产生波的源头运动速度大于波运动速度的一个情景。可是这个情景有太多了，比方声波的速度是每秒340米，作为制造声波的声源，战斗机，我很容易就飞出超过声波的速度了。所以你看战斗机飞过的时候，如果是超音速的，就会带出这样的一个锥形的东西，表现上和切伦科夫辐射是一样子的，这个很高大上。还有这样的，像鸭子游过都是这个过程，为什么？因为我们知道水面的波速是多少，差不多每秒2米到4米，鸭子很轻松就游过这个速度。所以鸭子作为水波的制造者，它的运动速度是大于水波速度的。鸭子游过的时候，这留下一个锥形的东西，和超音速战斗机的音障，和什么切伦科夫辐射留下的光锥，你看道理是一样子。

现在我们到了20世纪初，电磁场也有了，电磁波也有了，这个方程是不是研究充分了？不对。到了20世纪初，人们对麦克斯韦方程组的研究才刚开始。也就是如果你把它当作一个框架，这个框架才刚被别人发现。你看这个方程的对称性，有多少人研究过？你看这个方程存在时间反演对称性，存在空间反射与反演对称性，存在着空间转动对称性，存在着E和H这两个电磁量对偶的对称性，存在着洛伦兹变换，这是狭义相对论，这里面还有规范自由度，将来规范自由度和量子这些结合又得到了规范场论。一个叫Einstein，一个德国数学家叫Hermann Weyl的，一个法国数学家叫Poincaré的，一个研究晶体物理的德国物理学家叫Voigt的，这些人就在这样的一个方程组里面挖出了很多东西，而且随便挖出来的就是一门学问。所以对于麦克斯韦方程组的研究，对其中对称性的研究是很深的。有些数学不好的人，对于麦克斯韦方程组，竟然只给出表面上的对称性。比如点乘E等于电荷密度，有人竟然要求点乘B也不等于0了，等于，要求叉乘E等于磁场变化加一个磁流。这个东西弄得好像明面上很对称的一样。但是大家记住了，恰恰是表面上好像很有对称性了，是没有对称性的，这就是懂数学和不懂数学的人之间的差别。

有些人会故意说磁单极的研究起源于狄拉克1931年和1948年的文章，不对。当你说磁单极的mono这个词，本身都说不过去。你去看读狄拉克的论文，狄拉克不会犯这个错误。他说的是magnetic poles，不是magnetic monopole，狄拉克不会犯这种错误。

我刚才说了，电磁学还是刚刚开始。电磁学会有哪些表示？又有更高级的表示，就是用张量表示。我把三个分量的电场和三个分量的磁场表示成一个的反对称矩阵，这个东西叫电磁张量。

用电磁张量表示麦克斯韦方程组有什么好处？张量表示的第一项就是麦克斯韦方程组这项，前面两项是两个表示中等于0的项，这个张量表达和方程组相比有什么区别？有区别。因为这个表达本身就是数学上普适的，它叫雅可比恒等式，跟是不是电磁学没关系。看到这个你就知道，原来电磁本身一定就存在着反对称的性质，而不是对称的性质。所以虽然这样的张量看似没带出新的物理，但是它会让你对这个东西有深刻的，不同的认识。所以这是对电磁场的一个张量表达式。我刚才已经说了，我们研究电磁学时，带来了多少东西？带来了四元数，带来了相对论，这些四元数、相对论等等数学既然是电动力学产生的，它难道不会反过来作用到电动力学上面吗？当我们表达电磁学和电动力学时，发展出的四元数，像狭义相对论变换，反过来再用这些数学工具去看它所产生的源头时，我们一定能发现新的东西。这就是所谓的时空代数，它是几何代数的一部分。

我回答大家一个问题，为什么狄拉克在1925年到1932年的时候，一个20多岁，刚到30岁的人在几年里面给我们创造了相对论量子力学，还能创造相对论电动力学？这是因为他大学一开始学的是工程数学，他对于这些数学太明白了，所以到了狄拉克手里就有了一个什么？我们三维空间有Clifford代数，Clifford是一个英国人，狄拉克非常熟悉他的工作。这位也是被天嫉妒的人，仅仅活到34岁就去世了。但是Clifford代数太厉害了，这里我就不给大家细讲了，放在PPT里，大家感兴趣慢慢看。

我们知道，在3+1维时空，或者闵可夫斯基空间时空代数的时候，Clifford代数是由这样的4个基，，，，张开的16维代数，有1个标量，4个矢量，6个二矢量、4个三矢量和1个赝标量，而这6个二矢量恰恰就可以对应我们的电场和磁场。

你会发现在这个语境里面，电场E和B是一致了，成了一个层面的。但它们既是一个层面的，同时又分成3个和3个，这里面的数学奥秘就在这了。我没法给大家细讲了，大家可以看看这里的PPT。狄拉克是非常熟悉这一套数学的，这就是为什么狄拉克很轻松地用γ基矢，他会倒腾出γ矩阵，去写他的相对论量子力学，写出量子场论方程。而当这些数学我们都不会的时候，上来抱着他的书学习，你看哪一句都费劲。

会了这样的一个相对论几何的时候，我们回头再看麦克斯韦方程组，会发现麦克斯韦方程组里面电场E和磁场B是可以组合成一个新的二矢量，叫法拉第二矢量 (Faraday bivector)。在时空几何下，我们就可以把麦克斯韦方程组写成一个法拉第二矢量和时空微分算子在它上面的作用，等于电流的四矢量方程。你会突然发现所谓的麦克斯韦方程组的四个方程的形式，和用这种电磁张量表达成两个的形式，现在变成只有一个了，不再是麦克斯韦方程组，而是麦克斯韦方程。有人可能就杠了，这有什么意思？只不过你写的比较紧致。不对，你会发现它有神奇的地方。神奇的地方在哪？这样的一个麦克斯韦方程，这边是一个3+1维时空的微分算子，是个几何积的问题，我再用这样一个3+1维的微分算子作用它上面的时候，我刚才已经说了始终要有点乘和叉乘，点乘是把它的年级降一位，外积是把它年级升一位。但是我们看矢量本身是一年级的，我微分算符把它的年级降了一年级就是零年级的，可是我左侧没有零年级的东西。既然这里出现了零年级东西，零年级东西就绝对等于0，就是这个方程等于0，而这就是连续性方程。也就是当我们用法拉第二矢量去表达麦克斯韦方程组时候，麦克斯韦方程组里边天然地包含着电荷连续性方程。你看，它比我们先前使用的就高级多了。先前的方程必须额外给出连续性方程，而现在当我们能用这样的数学来看我们的电磁学的时候，我们会进而发现，麦克斯韦方程天然包含电荷的连续性方程，它就在这个方程里面。

量子电动力学

到了量子力学出来的时候，这事就更麻烦了，因为什么？因为不光有电磁波，人们还说电磁波就是光，光的能量还有量子化，电子也被发现了。电子在原子里面的能量也是量子化的，所以到处都有量子化的概念。

不光是这样，最重要的是，你会发现电子的来源也莫名其妙。电子或者电的原子被我们发现了以后，人们发现它竟然来自于非常奇怪的、不同的语境。比方说，给气体加上电压放电的时候，里面会发现阴极射线，这里面的电子只是和带正电的离子实分离而引起的，也就是原本就有电子，我仅仅是拿出来让你看到了。在光电效应里，电子是被光从固体里轰击出来的，我们也认为原来的固体里面有电子。但是电子还作为β射线从原子核里面被发现了，而它的来源竟然是这样的反应：一个中子，变成一个质子，变成一个电子，加上一个反中微子。这个电子哪来的？电子竟然也能以成对的方式从光而来，当我有一个高能的光子和原子核碰撞，光子湮灭的时候，竟然能够湮灭出一对电荷来。所以电子来源非常奇怪，要求我们既要用场的观点，又要用量子的观点。这就告诉我们，到这个时候你就必须得把量子力学用到电磁场上面。

量子力学我们都知道，从1859年黎曼第一次引出quantel这个词，到1925年约当给出正则量子化，1926年奥地利人薛定谔写出这个方程，1927年泡利写出电子和电磁场相互作用的方程，1928年狄拉克写出量子力学的相对论方程。在1928年前一年，英国人狄拉克发展了量子电动力学。

1932年的时候，为了诠释这个方程所瞎猜的，世界上存在着反粒子这件事，人们除了把光的能量量子化了，电子在电磁场中的能量量子化了，电荷本身也被量子化了。1931年的狄拉克的文章说连磁矩都量子化了。这些东西都告诉我们，接下来得把电磁场也给量子化。量子化之后要表示出光的几个性质。光量子化后的量子，质量等于0，能量等于或，动量等于，还要表现出偏振，其自旋算符等于±1。

狄拉克的做法是把磁矢势直接表示成傅里叶分析，把系数直接算符化，引入谐振子的量子化程序，这就是一般的书里拼凑的所谓二次量子化的程序。

有人说，你干脆直接从谐振子开始量子化就完了，因为电磁场能量表达式就是谐振子的表达式，直接按谐振子的形式写成产生算符和湮灭算符的量子化形式不就完了吗？但这个地方有什么问题？谐振子量子化的时候会多出1/2。我在一篇文章里面曾经写过三个不同的1/2的来源。1/2零点能的问题对于谐振子来说无所谓，但是对于电磁场来说就麻烦了。因为它有无穷多个自由度，每个自由度都有1/2能量，无穷大能量，哪来的？这就造成了所谓量子电动力学的发散问题之一。这些我也不懂，这些量子化的程序很多人是不接受的，或者希望能够有更加合理的方式。

2016年还有人通过直接构造希尔伯特空间的形式来引入新的电磁场量子化方案。我给大家说这个事情，就是提醒大家记住，电磁场的量子化方案还没有让大家都心服口服。

但是不管怎样，当用量子场论描述电子和电磁场相互作用的时候，量子场论形式上的东西，已经被人们得到了。这样一个拉格朗日量里面真的包含了太多的数学，这也是当一般人学习它，而数学准备不够，老师也讲不清楚的时候，我们作为学生也听不懂的原因。大家看这个地方是什么？它是电磁场张量，的张量。而这个地方是什么？这个地方就是狄拉克的方程。这里的ψ包含着四元数和旋量，这个地方的微分实际上是微分符号加上电磁场，这是协变微分。如果不把这些数学准备弄清楚，学起来太难了。但是不管怎么说，这个方程很伟大。因为从这样的一个拉格朗日量中，我们可以得到电子的运动方程，这边是狄拉克的量子力学相对论方程，右边就是电荷和电磁场矢量的相互作用。而下面这个方程就是麦克斯韦方程组，也就是说，在这样一个表达式里面，狄拉克的电子的相对论方程和麦克斯韦的经典方程结合到一起了。

这样的结合能有什么意思呢？意思大了，它竟然能让我们理解电荷是怎么回事。你会发现在这样的一个量子场论中，电势是有规范变换的，所以这里会有规范函数。但是如果要让我们刚才量子力学版本的场论变换都一致的话，就会很有意思，就会要求当电势这么变化的时候，同时要求波函数同时这么变化，你会发现和这个电磁场的规范函数相乘的东西，竟然是电荷。而如果要求波函数代入这个东西不影响我量子力学结构的时候，就提供了这样的认识，就是电荷是波函数相位里面共轭的东西，而且相位里面的α(x)是规范函数。这个理论会指向磁矩量子化，磁矩量子是多少？等于，这就是狄拉克把他的相对论量子方程和麦克斯韦方程组合到一起的时候，又给我们带出来的新知识，当然还有更多新的知识，比方可以用来计算拉姆移动等等。计算后来也遭遇了很多的困难，当然也让人发展出了量子力学电动力学更多的内容。

比方像费曼、史温格和日本人朝永振一郎，他们因为量子电动力学获得了诺贝尔奖。但是你会发现，所有人对量子电动力学都不满意。戴逊说它不完备，郎道说它缺乏逻辑一致性，费曼自己靠它得了诺贝尔奖，却说量子场论就是人吓唬鬼。狄拉克干脆就指名道姓说费曼、戴逊这些人发展出的量子电动力学既丑陋又不完备。你说它既丑陋又不完备也好，你说它人吓唬鬼也好，但是他确实还是给我们带来了很多的新知识。可是这里的数学实在是太难了。

结语

关于量子电动力学数学确实太吓人了。有人可能会说，曹老师，我们学量子力学、电动力学能不能学点简单的，也能对人类社会有贡献？能不能呢？能。而且你可以学非常非常简单的东西。我给大家举例子。比如平行板电容器，我们在中学教科书里面，出题都是说两个平行板的电容正比于面积，和平行板间距成反比，这样定义电容。然后说，如果平板上带着电荷q和负q，它就相应地有个电压，你往里面如果放一块电介质，电压就变成了相对介电的1/2，能量又变多少，这就是我们中学教的关于平行板电容器的物理。

可是我想说的是，物理不能这么教，实际的物理是不是这样子的，在这样的简单的装置上产生了很多诺贝尔物理学奖，产生了很多改变我们人类社会的东西。设想你是一个物理老师，要用平行板电容器给学生们演示实验，你要干什么？你要给电容器上面带电，可是你会发现你给平行板带上电，还没等给学生做演示实验，没多会电没了，很烦人。你发现它怎么跑的？阴天跑得比晴天快，你就会赖这个地方也许有潮湿空气，会容易引起平行板的电消失。怎么办？我把它封装起来，封到玻璃壳里面，还把里面的气给抽走，是不是电就能放的时间长了？是的，确实放的时间长了，但电还是没有了。我们看在这种情况下，当我们把平行板给封到这样一个玻璃壳里面，我们把里面的气还抽出来一点了，给平板上带电的时候会出现什么情况？我们让他做实验给我们大家看。玻璃管两边有电极，现在把里面的气往外抽，你看一开始的时候，玻璃管了啥也没发生，等到气压越来越低的时候，这里面也有火了，冒火了，你看这个管子整个亮着，这就可以做日光灯了。你会发现靠近阴极这地方，这一段是黑的，并且气压越来越低，这个黑的东西在往前长，如果泵使劲往外抽，黑的东西一直往前长。大家想象一下，这黑东西如果长到这头是不是就不会有亮了？不对，当黑的这一段长到阳极这一头的时候，你会发现阳极是亮的。你会觉得很奇怪了，谁把阳极照亮的呢？你肯定怀疑，那肯定是从阴极过来的东西把阳极照亮的对不对？就只有阳极、阴极，阳极被照亮，你能赖谁呢？你只能赖阴极，对吧？所以你就怀疑从阴极过来了某种射线把它照亮了，所以你现在给它起个名字，这个东西叫阴极射线。但阴极射线是什么东西？不知道。

你怎么证明说是有阴极射线把这个东西照亮的？我把阳极给挪到不再面对阴极的地方，挪到了底下，不再面对阴极了，你会发现阳极和阴极之间有光，这一片地方好像没有光了，但是如果在这个地方放上一个铁的东西，你竟然发现这地方有影子，但是这个影子不是光造成的，为什么？因为当你在外面放一个磁铁的时候，磁铁乱晃时，你发现光是不受磁铁影响的，但是影子会乱晃，也就是说，确实是从我的阴极里面跑出来一种阴极射线，这个阴极射线还可以被电场、被磁场影响，阴极射线后来被证明了是电子。

那时候我们不知道阴极射线是什么东西。所以有人想，我得把阴极射线弄出来研究是不是好一点。可是整个装置都在玻璃管里，你怎么把它弄出来？所以在这个玻璃管上给它磨一个小眼，往上面贴着一个薄薄的金箔，希望阴极射线从这地方能跑出来。可是阴极射线从里面跑出来很难，我要拿荧光板让它打，看光，看有没有阴极射线被引出来。所以实验怎么做？只能大半夜在实验室里面把黑窗帘都拉上，把灯都关了，因为想把阴极射线引出来，但是阴极射线能不能引出来也不知道，发光也很弱，结果我有没有引出来阴极射线不知道。我发现我拿着一块荧光板对着小眼，荧光板没亮，旁边很远的地方靠墙放着的荧光板都亮了。并且是人如果从玻璃管和荧光板中间走过的时候，能够照见自己的肋骨，这是什么东西？这一定是一种不知名的射线。有一个不知名的东西，我们给它取什么名字来着？x。于是发现了“X-射线”这个东西。伦琴在这上发现了X-射线，获得了第一届的诺贝尔物理奖，应该是1901年。然后对于这个阴极射线，测定这个阴极射线的荷质比，因为它受磁场影响，受电场影响，这让Lenard于1905年获得诺贝尔奖。汤姆逊对于气体放电过程影响，获得了1906年诺贝尔奖。

这还不要紧，玻璃板往外面放电，我们刚才说有光电效应，你拿光照它的时候，你会发现用某些光照的时候，很容易从这边跑出来更多的阴极射线，所谓电子。可是你会发现很奇怪，如果用长波长的红光，不管多强，都没有什么效果。但是你用短波长的紫光的时候，只有光波长短到一定程度时候才有效果，才能照出电子。1905年，爱因斯坦对这个实验现象给出了解释，认为光的能量是一份一份的，跑出来的电子的动能就等于光子的单个能量减去一个台阶，叫功函数，于是乎就解释了这个现象，作为光的能量量子化的重要证据，这让爱因斯坦在100年前获得了补发的1921年的诺贝尔奖，又是个诺贝尔奖。

现在这一个平行板，我放到玻璃壳里面，抽了气，能放电放时间长了，但是放的时间长了，电也还是少了。我们大家就会注意到，平行板你要把它的面磨得光滑了，它漏电就不那么严重。或者反过来说，板如果是不光滑，有毛刺，它就容易漏电。当然大家就想起来尖端放电的事情了。所以有人一生气，说我干脆就不给你做成板了，我把阴极干脆就给你做成尖的。好家伙，这一干脆做成尖的，这里面出来的电子可多了，逮什么东西都能打亮，比方随便一个荧光板，很厚的荧光板在这边打，你从这边都能看有亮。加一对平行板，加一个sin函数的电场，在垂直方向再加一个平板，加个sin函数的电场，还改变它电子束的亮度，电子束就能扫描，同时还改变亮度，这是什么东西？这就是黑白电视机。我们人类有黑白电视机了。如果我们让这个地方出来的电子滤一滤，使它的能量单色性很好。能量足够大的时候电子可以穿过晶体，还可以给晶体成像，这就是透射电子显微镜。所以这个东西1986又获得了诺贝尔奖。

这上面还能获诺贝尔奖。现在我装置的右边是板，左边就变成尖刺了，尖刺这个地方玻璃里面不管怎么充，它多少有点气，我们刚才已经看到了，中间有气的时候它会发光对不对。发光的时候你充不同的气，它会怎么着？它发不同颜色的光。所以我们可以做不同的灯，比如普通的什么荧光灯，还做出了霓虹灯。科学家往里面充稀奇古怪的气。比方说刚才那个赫兹，赫兹有个侄子，当然也姓赫兹了。这位老兄在这里面充什么呢？充水银蒸气。你加电压，阴极射线往外跑。它的电流和电压什么关系？你看它电流电压是这个样子的，每过4.9伏往上就会出现一个峰，每过4.9伏往上出一个峰。对这曲线的理解是什么？这说明电子在原子、分子里面的能量也是量子化的。这个工作是1914年做的实验，获得了1925年的诺贝尔奖。这是奠定有量子现象的一个重要的实验。

现在我们看玻璃管里面只要气压比较低，加上电就能发光，产生了很多光源，如果光使用这些光源在理发馆前面弄霓虹灯，大家看是不是太浪费了。我们还有什么？我们有玻璃棱镜，我们对管里出来的光加上棱镜，看看到底有多少条，一看霓虹灯出来的光线的谱线可多了，好多条。那么多条，我哪猜得出它有什么规律啊。可是到了1895年的时候，人类竟然把氢气给液化了。氢气被液化就能得到纯净氢气，我们把氢气充到里面，看氢气发光什么样子。结果会发现氢气竟然只有4根光线，这个图里现在我们能看到6根，当年只能看到4根哈。看着这4根光线能测出它的波长，大家还记得吗？量子力学里我们讲过，请猜出这4个数的规律，于是开启了量子力学，大家看到没有？这就是简单的平行板做着做着做成什么了。

我们的电磁学本身关联的第二次工业革命，带来了人类的新的文明。请大家记住，学会电磁学的任何点滴，都意味着你掌握了一个或者数个工业门类。可不要小瞧这个，掌握电磁学的任何的一点点滴知识，都意味着掌握着一个或者数个工业门类。

你要不信我给你再举个简单例子，你看在电磁学里面，一个电荷q在电场受的力就是qE，好像咱们大家电磁学上也都学了。牛顿力学是怎么说？牛顿力学说如果一个粒子受力，它的质量乘上加速度等于力，这个没问题吧。你把这两个公式凑到一起，也就是说质量乘上加速度，等于电荷乘上电场，你知道这个公式就意味着一门学科，这门学科叫什么？叫电子光学，知道它值多少钱吗？你要会看这个公式，这个公式是什么意思？这个公式你看左边是加速度，意思是什么？是怎么运动。另一边是电场随时间和空间的分布，也就是电场随时间和空间的分布决定着电荷怎么运动。也就是说，如果你有本事设计这个电场，你就能让电荷去到指定的地方，就有一点像现在送快递，人家就给你钱了。这个简单的公式就意味着非常重要的工业门类，比方工业门类之一的就是质谱仪。你看简单的四极质谱仪就是这样子的。荷质比乘上加速度，就等于电场强度，你只要会设计电场，它就只能按照特定的方程运动。如果荷质比不对，这些电荷就会被弄到歪路上去，就找不着了。而只有某一个特殊的荷质比的电荷在运动，才让它穿过这个迷宫，到达探测器，这就完成了对质量的筛选。这就是四极质谱仪的工作原理。懂得这个原理，一个简单的射频源，加上四根金属杆，你就能卖人几十万。有了电子光学这东西才有了各种电磁学的仪器。所以大家可以想象一下电磁学有多么有用。

我们怎么评价电磁学和电动力学？我个人学电磁学、电动力学，包括我上辅导课、教课，确实是对这门课我有很多的疑惑，学习起来很非常困难。今天我觉得我心里有点感到释然了。为什么？因为我看到了很多的最新的文献，看到很多人的讨论，人家明确指出来，它确实是模棱两可，但硕果累累。请记住，这是2000年的一篇文章说的模棱两可，但硕果累累。所以也请同学们也就记住了，在我们做论文的时候，做出错误的结果不可怕，就怕错的没有新意，做出错误的结果不可怕，要做出结果，这个结果要有启发性，不需要一定多么正确。

电磁学是什么东西？电磁学应该差不多是两千来年的这样一门学问，它的建立是一场马拉松式的瞎子摸象。然而，它纵然漏洞百出，也是我们人类最伟大的智慧结晶。电磁学方面的进步大家也看到，量子力学、量子场论确实是太难学了，可是每一步的进步是巨大的，但是每一步也确实需要我们的学习者真正有内功，也要求我们教的老师真地从最根本处要掌握。教电磁学、电动力学会是个挑战，我希望我的教师同仁们多少都能认识到这一点，也能认识到电磁学本身它是有值得挑剔的地方的。

在今天，我们人类社会已经来到了一个电磁驱动的社会，我们需要对电磁以及电磁引出来的后面的电动力学、量子电动力学这些学问有深刻的意识。越是面对未知，越是要深入理解。怎么去学会电动力学呢？关于学习这个事情，《西游记》这本书的第二章确实对我影响比较大，因为我特别喜欢菩提老祖的这四句诗。我们学习这个事情，如果你不遇到至人，就是不遇到高明的老师，学习起来是非常非常费劲的，这是我个人的感觉。对于我们普通人来说，如何才能学得懂电磁学和电动力学，我一个感受，我请大家记住，一定要去读学问创造者的书。这个三卷本是法拉第的实验的记录，这两卷本《论电与磁》是麦克斯韦对法拉第思想的一个阐述或者进一步发展。这5本书放一起，恰恰能够给你讲明白什么叫从物质中去感觉，以及如何把感觉上升成理论。所以这样的书，我的说法可能是有点儿太夸张了，但是我觉得读这书，尤其是读麦克斯韦这两卷本的书，它真给你一种感觉就是，“作为一个教授，我终于上学了。”

作为学习者，我们还应该更多的去听研究者的课，像法拉第的课。

在我们今天，至少在前几年，我们还能够荣幸地听到杨振宁先生讲课。这是2007年杨振宁先生在国家天文台讲课，基于他的一篇文章，就是讲麦克斯韦方程和规范场论概念的。请记住，不是麦克斯韦方程组。这是杨振宁先生一篇文章，让我特别有触动的是什么？是这样的一句话，说麦克斯韦的第一篇论文满是数学，因此比法拉第的好懂。我把它提取出来8个字：“满是数学，因此好懂。”我们大家记住了吗？很多人会鼓吹说，我们为了向人们传达科学，要尽可能少用数学公式，因为数学公式会把我们的什么读者吓走，我们要深入浅出，甚至像好的诗一样，要让普通的老太太都能听懂，就是要尽可能地避免数学。可是看看杨振宁先生怎么说的，就是这8个字——满是数学，因此好懂。如果这话是我说的，我想肯定别人不知道该怎么杠，说这个人又在虚头巴脑。可这是杨先生说的，我隆重地把这句话推荐给我们所有的老师，以及我们做家长的朋友，请记住，当我们给学生，给我们年轻的后一代读书人讲课的时候，请记住，”满是数学，因此好懂。”

今天的讲座，就讲到这了，谢谢大家的关注。对电磁学和电动力学，或者整体说的物理，我眼中的物理是这样的一个形象，就是平静的海面上波涛汹涌。我请同学们慢慢体会这句话，什么叫平静的海面上波涛汹涌。

最后，感谢中国科学院传播局以及中国科学院物理所提供了这样的一个平台，让我们有机会给大家分享关于物理学的一些认识。也感谢北京电视台著名主持人李杰、徐春妮，以及去年的央视传媒创造的著名主持人王雪纯，他们作为著名主持人来襄助我们这样的一个活动，感谢抖音集团加入我们的科学传播。我衷心地希望更多的人能够在严肃的学习物理的过程中，真正地享受到欢乐与智慧。

作为我本人，念了大学，念了博士，最后有机会做了教授，我特别想借这个机会感谢我的物理老师们，他们有的人仅仅是普通的乡村老师，但是我特别感激他们的是，他们让我的学物理之路是一条连续的曲线。当我有一天终于在中国科学院物理研究所找到一角平静的办公桌的时候，我终于能够有了自学物理的机会。所以我本人特别珍惜这个机会。我也希望这样的一个科学跨年演讲，能够对许多想学习物理的朋友们多少有一点帮助。

最后我给大家提醒一句，我们宣传片里面提到的，当你学了足够多的电磁学知识的时候，请猜猜电影是什么意思？我们看我们的汉语电是什么意思。電，雷電，它是什么现象？它是水汽团里面积聚了太多电荷以后，击穿空气引起的放电，放电以后里面带电粒子又复合发光才产生的光，叫雷电。天上的雷电既然作为光源，它的明亮有变化，于是乎雷电作为光源，在我们地上就造成了明暗的现象，这就是我们汉语电影的意思。电影这个词在唐诗里面有很多地方都会出现，比方说“电影江前落，雷声峡外长”，这就是电影的本意。我们现在作为娱乐方式的电影是什么意思？我们看电影首先说要有电源，我们有了电灯以后，电灯就随时可以用作光源，而且是很亮、方向性非常好的电源。所以当光透过透明胶片的时候，就可以把影子投到荧幕上面，荧幕上面的影子如果运动得非常快的时候，这个投影就给我们一个连续的感觉，再配上音，这就是我们什么大家现在欣赏的电影。可是这地方有几个重要的词，如果大家没get到，可能就不知道这电影里面内涵还有什么东西。首先我们大家看透明的电影胶片或叫拷贝，胶片的英语叫film，可是film这个词本身是什么意思？就是动物的皮的意思。动物的皮可以做得很薄，光可以透过去，本来就可以做什么，做投影，这就是皮影戏。皮影戏本身就是电影的前身。当我们有了胶片以后，让胶片运动起来，运动的过程一开始不是用电机转动的，是我们用手拽的，这个就叫拉洋片，这也是电影的前身。这个电影的运动就叫cinematique。前面那个字cinema就是我们平常所说的英文的电影院，其实这不是电影院，这就是运动的意思。所以大家看，电影、电灯、film、cinematique这些词凑到一起，从电磁学的角度，你get到他们的意思了吗？

最后还有一个，在准备这样的一个PPT的时候，在7月7号这一天，我想到了关于电磁学的一个上联：电波、磁波、电磁波，波光粼粼。求下联。这个对联的讲究是什么？我们知道有电波，我们有时候也说磁波，说的不多，但是我们知道电磁现象是一体的，是有电磁波的。电磁波的概念从哪来？是从水波这个概念来的，可是我们知道光又是电磁现象，光就是电磁波，所以这里面的波光粼粼，好像是看似说水，但是光本身又是电磁现象，是电磁波。这样的一个上联可能要对上不是特别容易。但是我把它抛出来放在这儿，希望能够引起大家对电磁学的兴趣。我自己今天下午的时候突然想到了一个不太好的下联，放在这抛砖引玉，叫：呆气，傻气，呆傻气，气息奄奄。讲了三四个小时，我现在状态确实也差不多气息奄奄了。谢谢大家。

回答网友提问

网友提问：

电动力学是属于力学还是动力学？

刚才其实讲座里面已经提到。首先第一条，电动力学这个词是1826年安培提出来的。第二。电动力学和电磁学发展到了1870年前后的时候，人们终于认识到了，虽然电磁学过去的发展一直是参照着流体力学、固体力学，是把它当作力学或当作动力学的。1870年前后的时候，人们终于认识到了电磁学它不是力学，也不是什么简单的动力学问题。因为电磁现象最重要的是光，而光本身又和强相互作用和弱相互联系在一起的时候，等到电磁学进入到量子电动力学和量子场论的时候，我们实在已经看不出来原来的力学和动力学的东西，但是动力学的因素还是在的。至于是否属于力学，力这个概念，我再强调一遍在1894年的赫兹的那本书《关于力学的新表述》里面，已经把力这个东西踢出物理学了。

如果一个人想给外星文明发射电磁信号，他需要具备哪些电动力学知识？

一，他要有足够大能量的电源。第二，他要会做天线，还天线设计要好，要使得他的天线发射的波定向要好，因为发给外星人，我想距离肯定短不了，如果定向性能不好，电磁波肯定早就散射没了。这点我们也就注意到，刘慈欣的小说《三体》，刘慈欣他本人好像是电子工程师，所以他电子方面的认识很有水平。在三体里面，当我们从红岸基地给外星人发射信号的时候，大家记住没有，刘慈欣设计的一个桥段：不是靠我们从地面发射信号本身，而是要借助宇宙中的某一个电磁暴的现象，把这个信号给放大以后再传遍宇宙。所以这个地方还有一个知识，即要学会放大。我刚才提到了这一个雷达的问题，请大家记住，雷达的概念基本上都是这样子的，雷达产生信号和放大信号也是分开的。产生一定频率的波源，和把这个东西用高功率放射出去的放大器它俩是分开的。当然了，雷达这个东西现在许多都做成了发射和接收模块。我们国家现在的战斗机上的有源相阵控雷达，据说都可以做到2000多个模块。发射接收模块，我也不太懂，我就不细说了。

不同的规范求解电磁场有什么本质区别，或者物理意义？

电磁学存在规范，并且我们知道，规范函数和电荷又联系到一起。在量子电动力学的意义下，如果我们要求量子力学的结构没有什么变化的时候，还能得到磁矩量子化等等知识，是非常酷的。在我们求解电磁场的时候，是可以选定某些特定的规范，比如洛仑兹规范，库仑规范，将来还有什么外尔规范等等。不同的规范会有什么？既然它是自由度，当我们约定了、限定了某个规范的时候，实际上会让我们用特定的角度去看它，会让你看到特定的东西。或者你从不同规范，从不同角度，你会看到不同的物理。至于它有什么物理意义，我刚才也说了规范当然是有物理意义的。规范的事情在1918年和1929年外尔的论文里面，会把引力和引力的规范性质也揭示出来，把它们放到一起，后来结合量子力学引入了一个非常重要的学问，就叫规范场论。规范场内将来竟然变成了一个规范原理。这个原理告诉我们竟然是所有的物理理论必须要有规范对称性，要有对称性的余度。我当然瞎琢磨了，我可能觉得受规范对称性的影响，我觉得将来我们人做事或什么东西都要学会多少留一点余地，你要有规范自由度。

磁荷有物理实在吗，还是我们想象出来的物理模型？我们还没有找到真正的磁荷，是因为磁荷物理模型还不够好吗？

我刚才在我的PPT里面已经说了，在那一页关于麦克斯韦方程组的对称性问题上，高人像外尔，像爱因斯坦，像庞加莱,Voigt这些人都看出来了麦克斯韦方程组里面那种内在的对称性，引出了很多的物理。不知道里面物理量本身的数学本质，仅仅从表面上把方程弄成两两对称的，相对于电荷ρ，又引入了一个磁荷ρ_m，但是到现在我也不知道ρ_m本身作为一个数学量是什么东西，是标量，是矢量，是张量还是旋量？我也不知道。所以表面上的平衡，实际上我个人觉得它反而是破坏了麦克斯韦方程组里面的对称性。所以我不知道它能导向出什么物理，或者说所谓的找到磁荷，找这个字又是什么意思？怎么个找法？这是我对这个问题的认识，可能我的认识不对，但是我觉得它确实不是一个好的物理模型。

这牵扯到的是一个最基本的认识，就是电子的电荷是不是一个基本电荷？我们怎么认识它？当狭义相对论出来以后，有人导出来了质能方程，说一个质量等于m的粒子，它的自能是，有人就认为电子的电荷是从无穷远处凑到一起的。这些电荷分成在更小的区域，它们之间相互作用的势能应该等于，于是乎又算出来一个所谓的电荷的经典半径，等于米。这种做法我个人觉得实在是难以接受的，为什么？因为同样的，电荷能不能够进入到米这种事情我刚才已经说了，如果纯粹是静电荷、静电相互作用，一个正电荷和一个负电荷都不能接这么近，何况是同等电荷。在原子核里面，正电荷的质子能够接近到米这种东西，不是靠电荷接近的，而是靠强相互作用才让它们接近到那么近的距离的。我不认为这种把电子当作一个无限小部分拼起来的做法是合适的。如果我们认定电子是一个fundamental particle，电子的电荷是基本电荷，我们更愿意的是把它想象成一个点模型，而不是一个有空间尺度的总电荷等于一个单位电荷，并同时存在着偶极矩的东西。这方面关于假设电子有偶极矩有一些测量，这些测量几十年了，并且不断的给出所谓上限的东西。我是看了一些论文，但是对于这一类的论文，我的观点没有什么分量啦，我一般是持负面态度的。

这就是我对这些问题的回答。谢谢大家。