中点训练题3-2012IMOSL-G4

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今天给大家带来一道中点训练题,题源为2012年IMOSL/G4,难度适中,可以尝试,相信你很快就能解决的...涉及到处理中点的对称思想的训练;

题目标签:共圆类-中点+角分线-圆幂

知识储备:没什么特殊技巧~

先放题干:

中，，为外心，角分线 交于，点与关于对称，过作垂线分别交、于，求证：四点共圆；

现在剖析该题:

该题拿到题干后可以找到很多平行和等腰三角形,对角分线+外接圆+底边中点敏感的同学能看到鸡爪定理是不难的,有没有用先放一边,但值得一试~

设与外接圆交于点,则三点共线;

算角发现:

故,

且注意到

接下来要思考对称点应该怎么处理,都是属于不常见的构造,考虑到由对称得来,本着消点的思想,不妨把对称过去消掉点

做关于的对称点

则三点共线且三点共线;

欲证明共圆,只需证

而

故只需证明四点共圆即可;

然而

故命题证毕!

简析:

其实本题难度正常,也能恰好的训练圆幂证明共圆的基本方法,顺便感受相交两圆类题目的做题感觉,其实说是中点的对称处理有点牵强,毕竟中点利用对称的也不是特别常见,但不如倍长中线来的直接,但是也不能见到中点就无脑倍长不是...

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