中点训练题6-2020波兰第二轮

今天是美丽的星期日，搞一个平时不太能见到的中点训练题，注：本题做法均来自aops，我会在证明前注明作者，今天的题目挺好，当作读后感在写了。

估计赶时髦的人都已经见过这道题目了，不过思路蛮好，给大家整理一波简单易懂的精致向几何题；

题目标签：中点-平行四边形-2020波兰第二轮

知识储备:内切圆

先放题目:

如图,在锐角中,是中点,设是内切圆与边上的切点,是的内切圆与的切点,做平行四边形,证明:在的角平分线上;

本题总给整理四个做法,证法一和二是几何法,不过证法一更具有学习价值,证法三是半推广性质的有点赖皮的证法,证法四是用重心坐标系算的,因为重心坐标系我也没用习惯,所以也捎带整理了一下;

证法一(Timon92):

做分别为关于的对称点,

取中点

则根据四边形四边中点构成平行四边形知

重合

结合

得,故AF为角分线证毕!

证法二(Timon92):

取中点,

延长到使得

则为平行四边形,

又得到为平行四边形;

因此

故只需证即可,

注意到

故证毕!

证法三(anantmudgal09):

证明一个更一般的命题:

设满足,则落在角分线上;

证明:

设在上线性运动,则在上线性运动,因此在运动时也保持线性运动;

同时注意到与在中点时,与重合,

接下来只需验证与重合时是否在角分线上即可,然后算算比例用角分线定理即证~

证法四(platypus43):重心坐标系

令,则显然有

因为

因此

同理

因此

因为

终于找到没有圆的题目了~

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