大学新生的学习秘诀：如何学习数学？(文末赠书)

九月，秋高气爽，瓜果飘香，正是丰收的季节。

九月，丹桂飘香，秋色宜人，正是美丽的季节。

九月，扬帆远航，展翅翱翔，正是求学的季节。

九月，五湖四海的大学新生们，欢歌笑语，济济一堂，走进了美丽的校园，开启了大学生活。

大学生活是一个崭新的开始，与高中生活完全不同；大学学习是一个全新的挑战，与高中学习天差地别。大学的课程内容范围广，课程进度快，课程难度大，对刚入学的新生来说必须做好规划，掌握好学习的方法，这样才能有的放矢，更好地适应大学学习节奏。为帮助大学新生更好地开始大学学习，本公众号将推出系列文章，敬请关注、阅读和转发。本篇文章主要讨论非数学专业的大学新生如何学习数学。

1.大学数学课程的重要性

大学数学课程的重要性不言而喻，它不仅是理工科学生学习专业课的基础，也是人文社科学生培养逻辑思维、数据分析能力的关键工具。

(1)支撑学科的基础：数学是自然科学、工程技术、经济学、管理学等众多学科的基础。无论是物理学中的力学、电磁学，还是工程学中的结构分析、控制系统，乃至经济学中的计量经济学、金融工程，都离不开数学的支持。大学数学课程为学生提供了必要的数学基础，使他们能够进一步深入学习专业知识。

(2)培养逻辑思维能力：数学是一门严谨的学科，它要求学习者具备严密的逻辑思维和推理能力。通过学习数学，学生可以学会如何提出问题、分析问题、解决问题，并在此过程中锻炼自己的逻辑思维和判断能力。这种能力不仅在数学学习中至关重要，在日常生活和工作中也同样具有广泛的应用价值。

(3)提升解决问题的能力：数学课程往往包含大量的实际问题和应用案例，通过学习这些案例，学生可以学会如何将抽象的数学概念和方法应用于解决实际问题。这种问题解决能力的培养对于提高学生的综合素质和创新能力具有重要意义。

(4)增强数据分析能力：在当今信息化时代，数据分析能力已成为一种重要的核心竞争力。大学数学课程中的概率论、统计学等内容为学生提供了数据分析的基本工具和方法，使他们能够更好地理解和处理数据，从而做出更加科学、合理的决策。

(5)促进跨学科融合：随着科学技术的不断发展，学科之间的交叉融合已成为一种趋势。数学作为一门基础学科，在促进跨学科融合方面发挥着重要作用。通过学习数学，学生可以更好地理解其他学科中的数学原理和方法，从而推动不同学科之间的交流和合作。

2.大学数学学什么

如果将数学比作一座精美绝伦的城堡，现在回答大学数学学什么这一问题，就好比在问这个城堡的某一层到底是什么样的？该怎么来回答这个问题呢？

假设我们用电影镜头似的语言来呈现，首先我们用广角的镜头呈现整个城堡的宏观全貌，然后逐步拉近镜头，缩小视野范围，将镜头对准这座城堡的大学数学这一层，于是大学数学的内容就直观呈现了出来。

按照类似的思路，首先让我们呈现数学领域的整体架构，然后再聚焦于大学数学的学习内容。这样读者会对整个数学领域有宏观的认识，进而对大学数学的内容形成直观的了解，而且还会明白大学数学与整个数学领域的关系，做到整体了解与局部细节感知的有机统一。

(1)数学领域的整体架构

图1 数学学科的总体架构

宏观上，可以将整个数学领域粗略地划分为基础数学、应用数学、数学史等几个部分，据此可以将数学学科的总体架构近似地表示为图1。

基础数学又称为纯粹数学，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。基础数学又包含代数学、几何学、分析学等主要领域。代数学是研究数、数量、关系、结构与代数方程的数学分支，可以形象地说成是解决“数”的问题。几何学则是研究空间结构的形状及性质的一门学科，也就是解决“形”的问题。分析学是一种较复杂的专业数学分支，涉及到微积分、复分析、泛函分析等诸多内容。

应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学理论解决其它领域的问题，其概念与基础数学相对。应用数学包含了计算数学、运筹学、统计学、控制论、信息论等诸多领域。

数学史是研究数学科学的起源、发展及其规律的科学。通俗地说，数学史就是研究数学的历史。数学史的研究内容包括追溯数学内容、思想和方法的产生、演变、发展过程，以及影响这些过程的各种因素。除此之外，数学史还研究数学科学的发展对人类文明所带来的重要影响。数学史属于交叉学科，其研究对象不仅包括具体的数学内容，同时还涉及哲学、历史学、宗教学、文化学等社会科学与人文科学内容。数学史主要包含了世界数学史、中国数学史等领域。

(2)大学数学的学习内容

图2 非数学专业学生在大学中需要学习的数学课程（标记为绿色的课程是重点需要学习的课程，标记为黑色的可以选学）

大学期间的数学学习在基础数学和应用数学领域都有所涉及。图2可视化地展现了大学数学需要学习的内容，其中分析学、代数学、几何学属于基础数学的范畴。概率论、统计学、运筹学等则属于应用数学的范畴。应用数学是为了解决现实世界的各种具体问题而产生的新的数学分支，例如研究概率论的最初的动机是为了研究赌博获胜的机会有多大，统计学是为了分析一些科学实验数据所蕴含的规律，运筹学则是为了解决战争中各种资源的最优分配及战略的最优决策问题。

(a)分析学

对于大一新生来说，分析学相关内容的学习可以说是至关重要。具体来说，需要高度重视高等数学等课程的学习。高等数学与数学分析的内容大体一致，数学专业或者对数学思维及技巧要求较高的工科专业会学习数学分析，大部分的理工科专业都是学习高等数学。高等数学是学生在高年级时解决具体专业问题的必备工具。很多时候，对一个具体问题的建模和求解必须要用到高等数学中的概念和技巧。例如，高等数学中的梯度这一概念被用来计算图像中物体的边缘，曲率这一概念被用来计算图像中物体的角点，又比如高等数学中求函数极值的方法经常被用于对机器学习中算法模型进行求解。可想而知，高等数学有多重要！这里需要明确的是，学习高等数学不只是为了在考试中获得高的分数，而是为了深刻理解高等数学中各种概念提出的背景，以及它们与现实世界中具体问题的联系。更为重要的是，学生需要掌握高等数学中各种运算和求解的基本技巧，例如求积分、求微分、级数求和、求解微分方程等，这些技巧在后续专业课程的学习中是必然会使用到的基本技能。

关于复变函数、泛函分析等更多的分析学课程，学生可以根据自己的专业要求进行选择性地学习。究竟需要掌握到多深的程度，由具体专业的要求和特点来决定。

(b)代数学

大一新生入学后，在学习完高等数学，往往还要求学习线性代数等代数学的核心课程。要求高的学校或者专业往往还需要学习矩阵论。很多时候学生们都会反馈线性代数很抽象，学了没有什么用！实则不然，这两门课程都是非常核心和实用的数学课程。线性代数其实也可以不抽象。例如线性代数中的特定运算可以实现对图像的旋转和平移，具有明确的物理含义。有的线性代数教材甚至对线性代数与几何变换的关系给出了具体的可视化阐述，这样的教材读完之后会让你有豁然开朗、原来如此的感叹。至于具体是哪些教材，读者可以查阅图书《人工智能怎么学》中关于线性代数和矩阵论的介绍。线性代数也是超有用的课程。例如，在对图像进行处理时，本质上做的事情是把图像转换为矩阵，然后做矩阵的变换和分析；又比如，在编程时会将若干个同类型的数据打包后放在一起，形成数组（如整型数组、字符数组等），然后对这些数组进行运算，这实际上做的是向量或矩阵的运算。

(c)几何学

几何学的作用无需做更多的解释。几何学的诞生就是为了解决具体问题而产生的。例如，土地分得不公平那问题可就大了，搞不好会打起来。怎么衡量分得公不公平呢？于是产生了计算土地面积的需求。有需求就得解决啊？这不几何学就正好派上用场了。大学的数学课程里面有关于解析几何、立体几何的，这一部分是非常基础的课程，学生们必须好好掌握。如果你将来要研究图形学，这些知识就很关键。理工科的大部分专业都会用到几何学的知识，因此几何学的相关课程得认真学。

（d）应用数学

应用数学与实际的应用联系最为紧密，其产生都有具体的应用需求和背景。概率论是为了研究一些随机事件的结果出现的可能性，也就是事件的某个结果发生的概率，为了更好的研究随机事件的特性，在数学上往往会用随机变量来表示随机事件。引入随机变量后就很方便用随机变量的分布来刻画其随机特性；此外，随机事件的数字特征也是描述随机事件特性的重要方法。具体而言，随机变量的数字特征包括均值、方法、矩、相关系数等。这基本上也是常见的概率论教材的写作思路。如果为了更加严谨的建立概率论的理论框架，往往还需要用到测度论的理论。有部分侧重理论的概率论教材会基于测度论的视角来撰写。

统计学是为了挖掘数据中蕴含的规律而产生的一门学科。统计学主要研究数据的采集、预处理、建模、模型检验、预测与推断等内容。如果用大白话来说，统计学就是要获得数据，然后清洗数据，接下来对数据建立模型，然后对模型是否合格进行检验，如果模型合格了则可以用模型进行预测，从而帮助人们做出正确的决策。以天气数据的统计为例，先要获得天气数据，获得天气数据后并不会马上进行处理，而是要对数据进行清洗，也叫数据预处理。这是因为，如果数据有问题，贸然处理就会获得错误的结果。数据清洗后，质量就有保证了，再利用这些质量有保证的数据进行分析，那就靠谱得多。都说数据贵如石油，这是因为数据有价值。关键的问题是，怎么发现数据的价值呢？对于天气数据来说，这些数据最大的价值体现在可以对未来某个时刻的天气进行预测，从而指导人们的生产和生活。怎么进行预测?那就得先建立一个用于天气预测的模型。什么是预测模型？比如，我给机器输入一个数字1，机器输出3；再输入2，机器输出5；然后输入3，机器输出7。接下来我问你，我给机器输入4，机器会输出什么？你可能马上会告诉我：输出9。为什么？你会说，机器产生输出的规则是：将输入的数字乘2再加1，即得到输出。用数学语言来说，也就是机器的数学模型是f(x)=2*x+1。像f(x)=w*x+b这样的数学表达式，数学上给了它一个高深一点的称呼，即感知机。上述这个例子用数学语言来描述可表示为：给定数据对(1, 3)、(2, 5) 、(3, 7)，求当输入为4时的输出。解决这一问题用到的统计学方法是感知机。关于上述分析的过程，读者可以通过图2有个更加直观的理解。有人肯定要问，你这个感知机模型里面只有两个参数，那么只需要两个数据对即可求出这两个参数，你为什么要用3个数据对？我要告诉你的是，真正去做的时候，用到的数据对远不只3个，可能是几十个或者几百个。为什么呢？因为数据采集的时候有噪声，你得到的数据不会如例子中的数据那么理想。大部分时候采集到的数据对是形如(1, 2.95)、(2, 5.01) 、(3, 7.02)、……这样的数据对。这些数据体现的规律没有那么明显，你每次选两个数据对去求解，得到的模型参数都不一样。这怎么办？这个时候我们稍微放宽一下要求，不要去求最真实的模型参数，而是去求最接近真实值的参数，也就是最优的一组参数。具体求解，可以采用“数学王子”高斯发明的最小二乘法。关于天气预测的过程，大致与上面的例子相似。首先会拿到一大堆数据，然后我们假设天气数据的分布符合某个数学模型，然后用已经得到的数据去建模，也就是求解模型中的参数，参数得到后就意味着模型已经建立，接下来会去检验这个模型的精度，如果精度达到要求，就可以用这个模型去预测未来某个时间的天气。所以，你看看，统计学是不是还是很有意思、很有用啊？

图3 统计学的具体例子和解决实际问题的过程

大部分学校会开设概率论与数理统计的课程。这实际上是将概率论与统计学两门课程的内容放到一个课程里去学了。一般而言，这个课程中接触到的随机变量都是一维或者二维的。然而，现实生活中接触到的随机变量往往是三维、四维，或者更高维度的。例如，如果将一张人脸的图片用随机变量来表示，这个随机变量将会是几十维或者几百维的。习惯上，用n维随机变量来表示高维随机变量。之所以用数字n，是代表现实问题中的随机变量的维数是变化的，而且是多维的。对于n维随机变量的情形，应该如何去构建这个随机变量的分布，又该如何去研究它的数字特征呢？这就涉及到多元统计分析的范畴。直白地说，多元数理统计就是将一般的概率论与数理统计课程中的随机变量的维数推广到了n维的情形。别小看这样一个看似顺其自然的推广，这样推广后，要对随机变量进行研究，难度就大了许多。

应用数学中另外一个非常值得去学的课程就是运筹学。什么是运筹学呢？运筹学就是基于已有条件，来实现某些收益的最大化。比如，你会唱歌，会跳舞，还会画画，现在的任务是在8个小时内让自己的劳动收益最大化。已有的条件是什么呢？你的劳动总时长是固定的，能够使用的人力资源只有你自己，也是固定的。那么，你会根据三种不同的劳动方式的耗时量（例如唱一首歌需要的时间），单位成果获得的回报价格（例如唱一首歌的价格），从而做出正确的决策。学习这门课程，最大的收获应该是做事情时具备了利用已有条件争取收益最大化的思维，懂得用运筹学的方法去解决这样的事情。

总结来说，对于非数学专业的学生来说，大学数学需要对图2中标为绿色的课程进行认真学习。这些课程对高年级时专业课程的学习非常重要。此外，如果你还要读研的话，那这些课程的知识肯定还会继续用到的。

3.如何学好大学数学

大学数学的学习这么有用而重要，那么如何学好大学数学呢？这里有些可供参考的建议。

(1)选择适合自己的教材

选教材就像选师父，选对了师父，学习起来就得心应手。不同的教材，质量和风格都差异较大。关于如何选择教材，可以查阅书籍《人工智能怎么学》，书籍中介绍了大学数学的一些经典教材，包括国内的和国外的。详细地给出了从入门、提高到进阶的具体学习路线图。同时书籍中还给出了与各课程有关的在线精品课程的网址，读者可以非常方便地进行自学。

(2)深入理解教材中的一些基本概念

数学概念一定要理解透彻，还要求会给这些数学概念举出一些具体的例子。例如，学了梯度这一概念，那就可以举出一些具体的例子，比如天气预测中的温度梯度、图像处理中的颜色梯度等。如果你能够举出一些具体的例子，意味着你对教材中的这些概念有了深入的理解。

(3)要多做习题

光看书上的理论和推导，往往是看的时候很懂，过后又觉得模糊了。究其原因，学习都有个逐步深入的递进过程。这个递进的过程往往要靠多做习题来完成。

(4)通过编程的方式来学数学

这是目前很多知名高校正在推行的方式。在讲解完教材上的数学理论后，还会让学生通过编程的方式完成课后作业的部分习题。用代码来实现教材上的数学理论或者模型。通过编程实践的方式可以检验学生是不真的把教材上的理论搞懂了。

4.如何提高数学应用能力

要提高自己运用数学知识解决具体问题的能力，个人觉得可以采取如下的方式。

(1)学完一门数学课程，除了获得良好的成绩外，还可以与任课教师多交流。最好能够让教师出一个难度比较适合的、与课程密切相关的课题。通过学习该课程来完成这一课题的研究，争取在课程的相关领域发表一些优秀的论文。这样做的好处是，不仅仅是停留在教材的学习上，而且对课程所在的领域有更为全面地了解。通过做课题深入到该领域的前沿研究，做出一些有突破性的成果。更为重要的是，通过这一方式与授课教师有更多的交流，促进了课程的学习。

(2)多参加与课程有关的竞赛。通过参加竞赛，一是可以检验自己对该课程的掌握程度，二是可以为自己学习该课程提供更多动力。

赠书活动

为感谢读者们对图书《人工智能怎么学》的支持，现在开展赠书活动。在2024年9月15日前只要您关注本公众号，并在本文的文末进行留言，留言点赞数最多的前三位读者，每人均可获赠一本该图书。