你真的完全理解 Logistic 回归算法了吗

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1. 引言

吴恩达：机器学习的六个核心算法！，

通透！！十大回归算法模型最强总结，

突破最强算法模型，决策树算法！！

急匆匆把 逻辑回归 给落下了，今天我们杀他个回马枪，再战三百回合

逻辑回归 Logistic 回归是一种用于分类问题的统计方法。它通过使用逻辑函数（如 Sigmoid 函数）将输入变量的线性组合映射到一个概率值，从而实现分类任务。

Logistic 回归广泛应用于许多领域，主要用于二分类问题，例如：

信用评分：预测借款人是否会违约。
医学诊断：判断某个患者是否患有某种疾病。
市场营销：预测客户是否会购买某产品。
社会学研究：分析某种行为是否会发生。

通过这篇文章，你将深入了解 Logistic 回归的原理、模型构建方法以及如何使用 Python 实现 Logistic 回归模型。

2. 数学基础

2.1 线性回归实现分类

在理解 Logistic 回归之前，我们先回顾一下线性回归。线性回归用于预测连续值，其数学形式为：

简化演示：比如这样的一个简单的 2 类别样本分布，我们可以最终得到线性方程可视化后的结果可能如下：

下一步，我们可以把这个线性回归延申到分类任务中，怎么做呢？

我们可以设定一个阈值，大于和小于这个阈值的分别属于两类（等于阈值呢，爱咋咋地，影响不大）
我们可以从下图看到，这个分类结果很完美，完全把两个类别区分开了

2.2 线性回归分类的缺点

线性回归虽简单有效，但在分类问题中存在局限。线性回归的输出是连续值，而分类问题需要离散的类标签。此外，线性回归不能保证输出值在 0 和 1 之间，这对于概率预测是不合理的。

接着 2.1 的内容，通过对比直观的理解一下线性回归分类的缺点

2.1 描述的回归转分类的方式，在下面场合就不灵了，比如收集数据的小哥哥小姐姐开了个小差，数据中混入一个异常点

这时候分类结果就很不理想了，如下图，如果我们还是使用 0.5 为阈值，那中间几个样本都被分类错了
除非我们更换阈值，问题是设置多少为阈值呢？想想看，这样是不是表现很不稳定

2.3 Logistic 函数（Sigmoid 函数）

为了解决上述问题，来了

逻辑回归（Logistic Regression，简称 LR）是一种广义线性模型（GLM），通常用于分类问题。与传统的线性回归模型（预测连续值输出）不同，逻辑回归预测的是一个概率值，表示为介于 0 和 1 之间的数。这使得它非常适合于二分类问题

Logistic 回归使用了 Sigmoid 函数，其数学形式为：

Sigmoid 函数将任意实数映射到 (0, 1) 之间，非常适合用于表示概率。

再次，直观的感受下，逻辑回归这个神奇的过程

2.4 理解分类目标

预测和实际的对比

在使用逻辑回归进行分类时，核心目标是确保模型的预测概率尽可能接近实际的标签。例如，如果一个样本的实际标签是 1（正类），逻辑回归模型预测这个样本属于正类的概率应该接近 1。相反，如果样本的标签是 0（负类），则模型的预测概率应接近 0。这种方式帮助我们评价和优化模型的性能，确保模型能够正确区分不同类别的样本。

2.5 最大似然估计

最大似然估计（MLE）是一种在统计模型中估计参数的方法，它寻找能够使观测到的数据出现概率最大的参数值。在逻辑回归中，MLE尝试找到一组参数，使得给定参数下，观测到的样本标签的概率最大化。这通常通过优化一个称为似然函数的表达式来实现，该函数是对所有数据点的预测概率的乘积。

2.6 交叉熵损失

交叉熵损失函数解释

交叉熵损失函数是评估逻辑回归模型性能的一个关键工具。它衡量的是模型预测的概率分布与实际标签的概率分布之间的差异。公式可以表示为：

其中 ( y ) 是实际标签，( p ) 是预测为正类的概率。这个损失函数的值越小，表示模型的预测结果与实际情况越接近。

损失函数与预测准确度的关系

一般来说，交叉熵损失函数的值越小，模型的分类准确度越高。通过训练过程中损失函数的下降趋势，我们可以观察到模型性能的改善。实际操作中，可以通过绘制训练周期与损失值的图表来直观展示这一过程，帮助理解模型优化的效果。

3. 模型构建

3.1 数据准备与预处理

在构建 Logistic 回归模型之前，数据的准备和预处理是关键步骤。包括：

数据清洗：处理缺失值和异常值。
特征选择：选择与目标变量相关的特征。
数据标准化：将特征缩放到相同的范围内，以提高模型的收敛速度。

示例代码：

import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 生成一个武侠主题的数据集
data = {
    '内力': [80, 60, 70, 90, 85, 75],
    '轻功': [85, 75, 65, 95, 80, 70],
    '武器': [1, 0, 1, 0, 1, 0],  # 1 表示有武器，0 表示无武器
    '是否胜利': [1, 0, 1, 1, 1, 0]  # 1 表示胜利，0 表示失败
}
df = pd.DataFrame(data)

# 特征和标签
X = df[['内力', '轻功', '武器']]
y = df['是否胜利']

# 拆分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)

3.2 模型假设与参数估计

Logistic 回归假设特征与目标变量之间存在线性关系，通过 Sigmoid 函数进行非线性变换。参数估计通过最大化对数似然函数来实现。

3.3 梯度下降法模型优化

算法原理

梯度下降法是一种用于优化逻辑回归模型参数的流行算法，其核心思想是利用函数的梯度（或斜率）来确定参数更新的方向。梯度指示了函数增长最快的方向，因此在优化过程中，我们沿着梯度的相反方向（下降最快的方向）调整参数，以寻找函数的最小值。

梯度下降可以通过一个简单的比喻来理解：想象你在山上，需要找到下山的最快路径。在任何位置，你都可以查看周围最陡峭的下坡路，然后朝那个方向迈出一步。梯度下降法就是这样在参数空间中寻找损失函数最小值的方法。

算法步骤

梯度下降的每一步都需要计算损失函数关于每个参数的梯度，然后用以下公式更新参数：

其中：

( θ ) 表示模型参数。
( α ) 是学习率，控制步长的大小。
是损失函数 ( J ) 关于参数 (θ) 的梯度

更新的步骤重复进行，直到满足停止条件，例如梯度的大小小于某个阈值，或达到预定的迭代次数。

在实际操作中，选择合适的学习率是非常关键的，因为太小的学习率会导致收敛过慢，而太大的学习率则可能导致跳过最小值点，使得算法无法正确收敛。

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4. 模型评估

4.1 混淆矩阵

混淆矩阵是一种用于评估分类模型性能的工具，它展示了预测结果与实际标签的对比情况。混淆矩阵包括以下四个指标：

TP（True Positive）：真实为正类，预测为正类。
TN（True Negative）：真实为负类，预测为负类。
FP（False Positive）：真实为负类，预测为正类。
FN（False Negative）：真实为正类，预测为负类。

示例代码：

from sklearn.metrics import confusion_matrix

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 混淆矩阵
cm = confusion_matrix(y_test, y_pred)
print(f'混淆矩阵:\n{cm}')

4.2 精度、召回率与 F1 值

精度（Precision）、召回率（Recall）和 F1 值是评价分类模型的重要指标：

示例代码：

from sklearn.metrics import precision_score, recall_score, f1_score

precision = precision_score(y_test, y_pred)
recall = recall_score(y_test, y_pred)
f1 = f1_score(y_test, y_pred)

print(f'精度: {precision}')
print(f'召回率: {recall}')
print(f'F1 值: {f1}')

4.3 ROC 曲线与 AUC 值

ROC 曲线（Receiver Operating Characteristic Curve）展示了模型在不同阈值下的性能表现。AUC 值（Area Under Curve）是 ROC 曲线下的面积，用于衡量模型的区分能力。

示例代码：

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import roc_curve, auc

# 预测概率
y_prob = model.predict_proba(X_test)[:, 1]

# 计算 ROC 曲线
fpr, tpr, _ = roc_curve(y_test, y_prob)
roc_auc = auc(fpr, tpr)

# 绘制 ROC 曲线
plt.figure()
plt.plot(fpr, tpr, color='darkorange', lw=2, label=f'ROC 曲线 (面积 = {roc_auc:.2f})')
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', lw=2, linestyle='--')
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.0])
plt.xlabel('假正率 (False Positive Rate)')
plt.ylabel('真正率 (True Positive Rate)')
plt.title('接收者操作特征曲线 (ROC)')
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

通过这些指标和可视化方法，我们可以全面评估 Logistic 回归模型的性能。在下一部分中，我们将通过一个实际示例来展示如何使用 Python 构建和评估 Logistic 回归模型。`

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5. 实战示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import confusion_matrix, accuracy_score, recall_score, f1_score, roc_curve, auc
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 生成模拟数据
X, y = make_classification(n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,
                           n_clusters_per_class=1, flip_y=0.01, random_state=42)

# 分割数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 使用逻辑回归进行分类
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
y_pred = model.predict(X_test)
y_prob = model.predict_proba(X_test)[:, 1]

# 计算混淆矩阵、精度、召回率和 F1 值
cm = confusion_matrix(y_test, y_pred)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
recall = recall_score(y_test, y_pred)
f1 = f1_score(y_test, y_pred)

# 打印混淆矩阵和其他指标
print("混淆矩阵:\n", cm)
print("精度:", accuracy)
print("召回率:", recall)
print("F1 值:", f1)

# 可视化数据和决策边界
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X_test[y_test == 0][:, 0], X_test[y_test == 0][:, 1], color='red', label='类别 0', edgecolor='k')
plt.scatter(X_test[y_test == 1][:, 0], X_test[y_test == 1][:, 1], color='blue', label='类别 1', edgecolor='k')

# 绘制决策边界和填充区域
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.01),
                     np.arange(y_min, y_max, 0.01))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.2, cmap=plt.cm.Paired)
plt.contour(xx, yy, Z, levels=[0.5], linestyles='dashed', colors='black')

plt.title('武侠世界中的高手分类图')
plt.xlabel('功力')
plt.ylabel('内功心法')
plt.legend()
plt.show()

# 计算并可视化 ROC 曲线
fpr, tpr, _ = roc_curve(y_test, y_prob)
roc_auc = auc(fpr, tpr)

plt.figure()
plt.plot(fpr, tpr, color='darkorange', lw=2, label='ROC 曲线 (面积 = %0.2f)' % roc_auc)
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', lw=2, linestyle='--')
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.05])
plt.xlabel('假阳性率')
plt.ylabel('真阳性率')
plt.title('受试者工作特征 (ROC) 曲线')
plt.legend(loc="lower right")
plt.show()

运行后输出：

混淆矩阵:
[[44 2]
[ 2 42]]
精度: 0.9555555555555556
召回率: 0.9545454545454546

F1 值: 0.9545454545454546

这张图展示了模型在不同阈值下的性能：

X 轴表示假阳性率（False Positive Rate, FPR），即被错误预测为正类的负类样本的比例。
Y 轴表示真阳性率（True Positive Rate, TPR），即被正确预测为正类的正类样本的比例。
曲线表示模型在不同阈值下的表现。
对角线（从 (0, 0) 到 (1, 1) 的虚线）表示随机猜测的表现。

曲线越接近左上角，模型的性能越好。在这次运行中，曲线下的面积（AUC）为 0.98，表示模型在区分正负类样本时具有很高的性能。很强大

这张图展示了测试数据点及其分类结果：

红色点代表类别 0（例如低等级武侠高手）。
蓝色点代表类别 1（例如高等级武侠高手）。
黑色虚线表示模型的决策边界，划分了类别 0 和类别 1 的区域。
背景颜色：决策边界两侧的背景颜色不同，用于区分类别。左侧区域（通常是类别 0）为浅红色，右侧区域（通常是类别 1）为浅蓝色。

这张图展示了模型如何基于两个特征（功力和内功心法）对数据点进行分类。大部分数据点都被正确分类，但也有少量数据点被误分类，这些误分类的数据点位于决策边界附近。

再次，强大

6. 进阶话题

6.1 正则化与过拟合

在 Logistic 回归中，正则化是一种防止过拟合的技术。过拟合是指模型在训练集上表现良好，但在测试集上表现不佳。正则化通过在损失函数中加入惩罚项来减少模型的复杂度，从而提高模型的泛化能力。

L1 正则化（Lasso）：通过增加参数绝对值之和的惩罚项，使部分参数变为零，达到特征选择的效果。
L2 正则化（Ridge）：通过增加参数平方和的惩罚项，使得所有参数趋近于零，但不会完全为零。

示例代码：

# 使用 L1 正则化
model_l1 = LogisticRegression(penalty='l1', solver='liblinear')
model_l1.fit(X_train, y_train)

# 使用 L2 正则化
model_l2 = LogisticRegression(penalty='l2')
model_l2.fit(X_train, y_train)

print(f'L1 正则化模型系数: {model_l1.coef_}')
print(f'L2 正则化模型系数: {model_l2.coef_}')

6.2 多分类问题中的 Logistic 回归

Logistic 回归不仅可以用于二分类问题，也可以扩展到多分类问题。在多分类问题中，常用的方法有：

一对多（One-vs-Rest, OvR）：为每个类别训练一个二分类器，每个分类器区分该类别与其他类别。
一对一（One-vs-One, OvO）：为每对类别训练一个二分类器，总共训练 $\frac{K (K - 1)}{2}$ 个分类器，其中 $K$ 是类别数量。

示例代码：

from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 生成多分类数据集
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=4, n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 训练多分类 Logistic 回归模型（OvR）
model_ovr = LogisticRegression(multi_class='ovr')
model_ovr.fit(X_train, y_train)

# 训练多分类 Logistic 回归模型（softmax）
model_softmax = LogisticRegression(multi_class='multinomial', solver='lbfgs')
model_softmax.fit(X_train, y_train)

print(f'OvR 模型系数: {model_ovr.coef_}')
print(f'Softmax 模型系数: {model_softmax.coef_}')

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6.3 与其他分类算法的对比

Logistic 回归虽然简单，但在某些情况下可能不如其他复杂的分类算法，如支持向量机（SVM）、随机森林和神经网络。对比这些算法的优缺点：

支持向量机（SVM）：在高维空间中寻找最优分类超平面，适用于复杂的数据集，但计算复杂度高。
随机森林：集成多棵决策树，提高模型的准确性和稳定性，但解释性差。
神经网络：强大的非线性建模能力，适用于大规模数据，但训练时间长且需要大量计算资源。

示例代码：

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.neural_network import MLPClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 训练 SVM 模型
svm_model = SVC()
svm_model.fit(X_train, y_train)
svm_pred = svm_model.predict(X_test)
svm_accuracy = accuracy_score(y_test, svm_pred)

# 训练随机森林模型
rf_model = RandomForestClassifier()
rf_model.fit(X_train, y_train)
rf_pred = rf_model.predict(X_test)
rf_accuracy = accuracy_score(y_test, rf_pred)

# 训练神经网络模型
nn_model = MLPClassifier(max_iter=1000)
nn_model.fit(X_train, y_train)
nn_pred = nn_model.predict(X_test)
nn_accuracy = accuracy_score(y_test, nn_pred)

print(f'SVM 准确率: {svm_accuracy}')
print(f'随机森林准确率: {rf_accuracy}')
print(f'神经网络准确率: {nn_accuracy}')